2．結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義；
1．通過已學(xué)過的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(小)值及其幾何意義；
3．求函數(shù)值域的各種方法
函數(shù)的值域是由其對應(yīng)法則和定義域共同決定的。其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域。
①直接法：利用常見函數(shù)的值域來求
一次函數(shù)y=ax+b(a
0)的定義域?yàn)镽，值域?yàn)镽；
反比例函數(shù)
的定義域?yàn)閧x|x0}，值域?yàn)閧y|y0}；
二次函數(shù)
的定義域?yàn)镽，
當(dāng)a>0時(shí)，值域?yàn)閧
}；
當(dāng)a<0時(shí)，值域?yàn)閧
}。
②配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：
的形式；
③分式轉(zhuǎn)化法(或改為“分離常數(shù)法”)
④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：
，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。
2．求函數(shù)定義域一般有三類問題：
(1)給出函數(shù)解析式的：函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合；
(2)實(shí)際問題：函數(shù)的定義域的求解除要考慮解析式有意義外，還應(yīng)考慮使實(shí)際問題有意義；
(3)已知
的定義域求
的定義域或已知的定義域求的定義域：
①掌握基本初等函數(shù)(尤其是分式函數(shù)、無理函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù))的定義域；
②若已知的定義域
，其復(fù)合函數(shù)
的定義域應(yīng)由
解出。
“函數(shù)”是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，學(xué)習(xí)函數(shù)的概念首先要掌握函數(shù)三要素的基本內(nèi)容與方法。由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍
它依賴于對各種式的認(rèn)識與解不等式技能的熟練。
1．求函數(shù)解析式的題型有：
(1)已知函數(shù)類型，求函數(shù)的解析式：待定系數(shù)法；
(2)已知求或已知求：換元法、配湊法；
(3)已知函數(shù)圖像，求函數(shù)解析式；
(4)滿足某個(gè)等式，這個(gè)等式除外還有其他未知量，需構(gòu)造另個(gè)等式：解方程組法；
(5)應(yīng)用題求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法等。
題型1：函數(shù)概念
例1．(1)設(shè)函數(shù)
(2)(2001上海理，1)設(shè)函數(shù)f(x)＝
，則滿足f(x)=
的x值為 。
解：(1)這是分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)式的變換問題，需要反復(fù)進(jìn)行數(shù)值代換，
=
=
(2)當(dāng)x∈(－∞，1
，值域應(yīng)為［
，+∞］，
當(dāng)x∈(1，+∞)時(shí)值域應(yīng)為(0，+∞)，
∴y＝
，y∈(0，+∞)，
∴此時(shí)x∈(1，+∞)，
∴l(xiāng)og81x＝
，x＝81
＝3。
點(diǎn)評：討論了函數(shù)的解析式的一些常用的變換技巧(賦值、變量代換、換元等等)，這都是函數(shù)學(xué)習(xí)的常用基本功。
變式題：(2006山東 文2)設(shè)
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：選項(xiàng)為C。
例2．(2006安徽 文理15)
(1)函數(shù)
對于任意實(shí)數(shù)
滿足條件
，若
則
__ ________；
(2)函數(shù)對于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則__________。
解：(1)由得
，
所以
，則
。
(2)由得，所以，則。
點(diǎn)評：通過對抽象函數(shù)的限制條件，變量換元得到函數(shù)解析式，考察學(xué)生的邏輯思維能力。
題型二：判斷兩個(gè)函數(shù)是否相同
例3．試判斷以下各組函數(shù)是否表示同一函數(shù)？
(1)f(x)=
，g(x)=
；
(2)f(x)=
，g(x)=
(3)f(x)=
，g(x)=(
)2n－1(n∈N*)；
(4)f(x)=
，g(x)=
；
(5)f(x)=x2－2x－1，g(t)=t2－2t－1。
解：(1)由于f(x)==|x|，g(x)==x，故它們的值域及對應(yīng)法則都不相同，所以它們不是同一函數(shù)；
(2)由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，+∞)，而g(x)=的定義域?yàn)镽，所以它們不是同一函數(shù)；
(3)由于當(dāng)n∈N*時(shí)，2n±1為奇數(shù)，
∴f(x)==x，g(x)=()2n－1=x，它們的定義域、值域及對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)；
(4)由于函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)閧x|x≥0}，而g(x)=的定義域?yàn)閧x|x≤－1或x≥0}，它們的定義域不同，所以它們不是同一函數(shù)；
(5)函數(shù)的定義域、值域和對應(yīng)法則都相同，所以它們是同一函數(shù)。
點(diǎn)評：對于兩個(gè)函數(shù)y=f(x)和y=g(x)，當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域、值域、對應(yīng)法則都相同時(shí)，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)表示同一函數(shù)，則它們的圖象完全相同，反之亦然。
(1)第(5)小題易錯判斷成它們是不同的函數(shù)，原因是對函數(shù)的概念理解不透要知道，在函數(shù)的定義域及對應(yīng)法則f不變的條件下，自變量變換字母，以至變換成其他字母的表達(dá)式，這對于函數(shù)本身并無影響，比如f(x)=x2+1，f(t)=t2+1，f(u+1)=(u+1)2+1都可視為同一函數(shù)。(2)對于兩個(gè)函數(shù)來講，只要函數(shù)的三要素中有一要素不相同，則這兩個(gè)函數(shù)就不可能是同一函數(shù)。
題型三：函數(shù)定義域問題
例4．求下述函數(shù)的定義域：
(1)
；
(2)
解：(1)
，解得函數(shù)定義域?yàn)?sub>
.
(2)
，(先對a進(jìn)行分類討論，然后對k進(jìn)行分類討論)，
①當(dāng)a=0
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>
；
②當(dāng)
時(shí)，得
，
1)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>
，
2)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>
，
3)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>
；
③當(dāng)
時(shí)，得
，
1)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>，
2)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>
，
3)當(dāng)
時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?sub>
。
點(diǎn)評：在這里只需要根據(jù)解析式有意義，列出不等式，但第(2)小題的解析式中含有參數(shù)，要對參數(shù)的取值進(jìn)行討論，考察學(xué)生分類討論的能力。
例5．已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：
(1) 
；(2)
。
解：(1)由0＜x
＜2， 得
點(diǎn)評：本例不給出f(x)的解析式，即由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法；求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域，后面還會涉及到。
變式題：已知函數(shù)f(x)=
的定義域是R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．a＞
B．－12＜a≤0 C．－12＜a＜0 D．a≤
解：由a=0或
可得－12＜a≤0，答案B。
題型四：函數(shù)值域問題
例5．求下列函數(shù)的值域：
(1)
；(2)
；(3)
；
(4)
；(5)
；(6)
；
(7)
；(8)
；(9)
。
解：(1)(配方法)
，
∴的值域?yàn)?sub>
。
改題：求函數(shù)，
的值域。
解：(利用函數(shù)的單調(diào)性)函數(shù)在上單調(diào)增，
∴當(dāng)
時(shí)，原函數(shù)有最小值為
；當(dāng)
時(shí)，原函數(shù)有最大值為
。
∴函數(shù)，的值域?yàn)?sub>
。
(2)求復(fù)合函數(shù)的值域：
設(shè)
(
)，則原函數(shù)可化為
。
又∵
，
∴
，故
，
∴的值域?yàn)?sub>
。
(3)(法一)反函數(shù)法：
的反函數(shù)為
，其定義域?yàn)?sub>
，
∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>
。
(法二)分離變量法：
，
∵
，∴
，
∴函數(shù)的值域?yàn)?sub>。
(4)換元法(代數(shù)換元法)：設(shè)
，則
，
∴原函數(shù)可化為
，∴
，
∴原函數(shù)值域?yàn)?sub>
。
注：總結(jié)
型值域，
變形：
或
(5)三角換元法：
∵
，∴設(shè)
，
則
∵
，∴
，∴
，
∴
，
∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>
。
(6)數(shù)形結(jié)合法：
，
∴
，∴函數(shù)值域?yàn)?sub>
。
(7)判別式法：∵
恒成立，∴函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
。
由得：
①
①當(dāng)
即
時(shí)，①即
，∴
②當(dāng)
即
時(shí)，∵
時(shí)方程恒有實(shí)根，
∴△
，
∴
且，
∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>
。
(8)
，
∵
，∴
，
∴
，
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)，即
時(shí)等號成立。
∴
，
∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>
。
(9)(法一)方程法：原函數(shù)可化為：
，
∴
(其中
)，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴原函數(shù)的值域?yàn)?sub>
。
點(diǎn)評：上面討論了用初等方法求函數(shù)值域的一些常見類型與方法，在現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)要求中，求值域要求不高，要求較高的是求函數(shù)的最大與最小值，在后面的復(fù)習(xí)中要作詳盡的討論。
題型五：函數(shù)解析式
例6．(1)已知
，求；
(2)已知
，求；
(3)已知是一次函數(shù)，且滿足
，求；
(4)已知滿足
，求。
解：(1)∵
，
∴
(
或
)。
(2)令
(
)，則
，
∴
，
。
(3)設(shè)
，
則
，
∴
，
，
∴
。
(4) ①，
把①中的換成
，得
②，
①
②得
，
∴
。
點(diǎn)評：第(1)題用配湊法；第(2)題用換元法；第(3)題已知一次函數(shù)，可用待定系數(shù)法；第(4)題用方程組法。
例7．(2006重慶理21)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿足f(f(x)－x2+x)=f(x)－x2+x。
(Ⅰ)若f(2)=3,求f(1)；又若f(0)=a,求f(a)；
(Ⅱ)設(shè)有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)x0，使得f(x0)= x0。求函數(shù)f(x)的解析表達(dá)式。
解：(Ⅰ)因?yàn)閷θ我?i>x∈R，有f(f(x)－x2 + x)=f(x)－x2 +x，
所以f(f(2)－22+2)=f(2)－22+2。
又由f(2)=3，得f(3－22+2)－3－22+2，即f(1)=1。
若f(0)=a，則f(a－02+0)=a－02+0，即f(a)=a。
(Ⅱ)因?yàn)閷θ我?i>x∈R，有f(f(x))－ x2 +x)=f(x)－ x2 +x。
又因?yàn)橛星抑挥幸粋�(gè)實(shí)數(shù)x0,使得f(x0)－ x0。
所以對任意x∈R，有f(x)－ x2 +x= x0.。
在上式中令x= x0，有f(x0)－x
+ x0= x0。
又因?yàn)?i>f(x0)－ x0，所以x0－x=0，故x0=0或x0=1。
若x0=0，則f(x)－ x2 +x=0，即f(x)= x2 –x。
但方程x2 –x=x有兩上不同實(shí)根，與題設(shè)條件矛質(zhì)，故x2≠0。
若x2=1，則有f(x)－ x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1。
易驗(yàn)證該函數(shù)滿足題設(shè)條件。
綜上，所求函數(shù)為f(x)= x2 –x+1(x
R)。
點(diǎn)評：該題的題設(shè)條件是一個(gè)抽象函數(shù)，通過應(yīng)用條件進(jìn)一步縮小函數(shù)的范圍得到函數(shù)的解析式。這需要考生有很深的函數(shù)理論功底。
題型六：函數(shù)應(yīng)用
例8．(2003北京春，理文21)某租賃公司擁有汽車100輛.當(dāng)每輛車的月租金為3000元時(shí)，可全部租出。當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會增加一輛。租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元。
(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，能租出多少輛車？
(2)當(dāng)每輛車的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
解：(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3600元時(shí)，未租出的車輛數(shù)為：
=12，所以這時(shí)租出了88輛車。
(2)設(shè)每輛車的月租金定為x元，則租賃公司的月收益為：
f(x)=(100－
)(x－150)－×50，
整理得：f(x)=－
+162x－21000=－
(x－4050)2+307050。
所以，當(dāng)x=4050時(shí)，f(x)最大，其最大值為f(4050)=307050。
即當(dāng)每輛車的月租金定為4050元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大收益為307050元.
點(diǎn)評：根據(jù)實(shí)際問題求函數(shù)表達(dá)式，是應(yīng)用函數(shù)知識解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)，在設(shè)定或選定變量去尋求等量關(guān)系并求得函數(shù)表達(dá)式后，還要注意函數(shù)定義域常受到實(shí)際問題本身的限制。
例9．(2006湖南 理20)對1個(gè)單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗，清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為：
為
，要求清洗完后的清潔度為
。有兩種方案可供選擇，方案甲：一次清洗；方案乙：分兩次清洗。該物體初次清洗后受殘留水等因素影響，其質(zhì)量變?yōu)?sub>
。設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是
，用
單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是
，其中
是該物體初次清洗后的清潔度。
(Ⅰ)分別求出方案甲以及
時(shí)方案乙的用水量，并比較哪一種方案用水量較少；
(Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)
為某固定值時(shí), 如何安排初次與第二次清洗的用水量，使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時(shí)對最少總用水量多少的影響。
解：(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z。
由題設(shè)有
=0.99，解得x=19。
由
得方案乙初次用水量為3,
第二次用水量y滿足方程: 
解得y=4,故z=4
+3.即兩種方案的用水量分別為19與4+3。
因?yàn)楫?dāng)
,故方案乙的用水量較少。
(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為
與
，類似(I)得
，
(*)
于是
+
當(dāng)為定值時(shí),
,
當(dāng)且僅當(dāng)
時(shí)等號成立。
此時(shí)
將
代入(*)式得
故時(shí)總用水量最少,
此時(shí)第一次與第二次用水量分別為
，
最少總用水量是
。
當(dāng)
,
故T()是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷)。這說明,隨著的值的最少總用水量, 最少總用水量最少總用水量。
點(diǎn)評：本題貼近生活。要求考生讀懂題目，迅速準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題并加以解決。該題典型代表高考的方向。
題型7：課標(biāo)創(chuàng)新題
例10．(1)設(shè)
，其中a、b、c、d是常數(shù)。
如果
求
；
(2)若不等式
對滿足
的所有m都成立，求x的取值范圍。
解：(1)構(gòu)造函數(shù)
則
故：
(2)原不等式可化為
構(gòu)造函數(shù)
，其圖象是一條線段。
根據(jù)題意，只須：
即
解得
。
點(diǎn)評：上面兩個(gè)題目通過重新構(gòu)造函數(shù)解決了實(shí)際問題，體現(xiàn)了函數(shù)的工具作用。
8．復(fù)合函數(shù)
若y=f(u)，u=g(x),xÎ(a，b)，uÎ(m,n)，那么y=f[g(x)]稱為復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量，它的取值范圍是g(x)的值域。
7．分段函數(shù)
若一個(gè)函數(shù)的定義域分成了若干個(gè)子區(qū)間，而每個(gè)子區(qū)間的解析式不同，這種函數(shù)又稱分段函數(shù)；
6．常用的函數(shù)表示法
(1)解析法：就是把兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系，用一個(gè)等式來表示，這個(gè)等式叫做函數(shù)的解析表達(dá)式，簡稱解析式；
(2)列表法：就是列出表格來表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系；
(3)圖象法：就是用函數(shù)圖象表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系。
5．映射的概念
一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)法則f，使對于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)f：A
B為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f：AB”。
函數(shù)是建立在兩個(gè)非空數(shù)集間的一種對應(yīng)，若將其中的條件“非空數(shù)集”弱化為“任意兩個(gè)非空集合”，按照某種法則可以建立起更為普通的元素之間的對應(yīng)關(guān)系，這種的對應(yīng)就叫映射。
注意：(1)這兩個(gè)集合有先后順序，A到B的射與B到A的映射是截然不同的．其中f表示具體的對應(yīng)法則，可以用漢字?jǐn)⑹觥?/p>
(2)“都有唯一”什么意思？
包含兩層意思：一是必有一個(gè)；二是只有一個(gè)，也就是說有且只有一個(gè)的意思。
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