題型1：指數(shù)運(yùn)算
例1．(1)計(jì)算：
；
(2)化簡(jiǎn)：
。
解：(1)原式=
；
(2)原式=
。
點(diǎn)評(píng)：根式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題就是將根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解，對(duì)化簡(jiǎn)求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式保留；一般的進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí)，化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)運(yùn)算，同時(shí)兼顧運(yùn)算的順序。
例2．已知
，求
的值。
解：∵，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
∴
，
又∵
，
∴
。
點(diǎn)評(píng)：本題直接代入條件求解繁瑣，故應(yīng)先化簡(jiǎn)變形，創(chuàng)造條件簡(jiǎn)化運(yùn)算。
題型2：對(duì)數(shù)運(yùn)算
例3．計(jì)算
(1)
；(2)
；
(3)
。
解：(1)原式
；
(2)原式
；
(3)分子=
；
分母=
；
原式=
。
點(diǎn)評(píng)：這是一組很基本的對(duì)數(shù)運(yùn)算的練習(xí)題，雖然在考試中這些運(yùn)算要求并不高，但是數(shù)式運(yùn)算是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本功，通過(guò)這樣的運(yùn)算練習(xí)熟練掌握運(yùn)算公式、法則，以及學(xué)習(xí)數(shù)式變換的各種技巧。
例4．設(shè)
、
、
為正數(shù)，且滿足
(1)求證：
；
(2)若
，
，求、、的值。
證明：(1)左邊
；
解：(2)由得
，
∴
……………①
由得
………… ……………②
由①
②得
……………………………………③
由①得
，代入得
，
∵
， ∴
………………………………④
由③、④解得
，
，從而
。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于含對(duì)數(shù)因式的證明和求值問(wèn)題，還是以對(duì)數(shù)運(yùn)算法則為主，將代數(shù)式化簡(jiǎn)到最見(jiàn)形式再來(lái)處理即可。
題型3：指數(shù)、對(duì)數(shù)方程
例5．設(shè)關(guān)于
的方程
R)，
(1)若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
(2)當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。
解：(1)原方程為
，
，
時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；
(2)①當(dāng)
時(shí)，
，∴方程有唯一解
；
②當(dāng)
時(shí)，
.
的解為
；
令
的解為
；
綜合①、②，得
1)當(dāng)
時(shí)原方程有兩解：
；
2)當(dāng)
時(shí)，原方程有唯一解；
3)當(dāng)
時(shí)，原方程無(wú)解。
點(diǎn)評(píng)：具有一些綜合性的指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題，問(wèn)題的解答涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的特點(diǎn)，題型非常廣泛，應(yīng)通過(guò)解題學(xué)習(xí)不斷積累經(jīng)驗(yàn)。
例6．(2006遼寧 文13)方程
的解為
。
解：考察對(duì)數(shù)運(yùn)算。原方程變形為
，即
，得
。且
有
。從而結(jié)果為
。
點(diǎn)評(píng)：上面兩例是關(guān)于含指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等式的形式，解題思路是轉(zhuǎn)化為不含指數(shù)、對(duì)數(shù)因式的普通等式或方程的形式，再來(lái)求解。
題型4：指數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)
例7．設(shè)
( )
A．0 B．1 C．2 D．3
解：C；
，
。
點(diǎn)評(píng)：利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，求解函數(shù)的值。
例8．已知
試求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。
解：令
，則x=
，t∈R。
所以
即
，(x∈R)。
因?yàn)?i style='mso-bidi-font-style:normal'>f(－x)=f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故只需討論f(x)在[0，+∞)上的單調(diào)性。
任取
，
，且使
，則
(1)當(dāng)a>1時(shí)，由，有
，
，所以
，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。
(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，由，有，
，所以，即f(x)在[0，+∞]上單調(diào)遞增。
綜合所述，[0，+∞]是f(x)的單調(diào)增區(qū)間，(－∞，0)是f(x)的單調(diào)區(qū)間。
點(diǎn)評(píng)：求解含指數(shù)式的函數(shù)的定義域、值域，甚至是證明函數(shù)的性質(zhì)都需要借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理。特別是分
兩種情況來(lái)處理。
題型5：指數(shù)函數(shù)的圖像與應(yīng)用
例9．若函數(shù)
的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是( )
A．m≤－1 B．－1≤m<0 C．m≥1 D．0<m≤1
解：
，
畫圖象可知－1≤m<0。
答案為B。
點(diǎn)評(píng)：本題考察了復(fù)雜形式的指數(shù)函數(shù)的圖像特征，解題的出發(fā)點(diǎn)仍然是
兩種情況下函數(shù)
的圖像特征。
例10．設(shè)函數(shù)
的取值范圍。
解：由于
是增函數(shù)，
等價(jià)于
�、�
1)當(dāng)
時(shí)，
，①式恒成立；
2)當(dāng)
時(shí)，
，①式化為
，即
；
3)當(dāng)
時(shí)，
，①式無(wú)解；
綜上的取值范圍是
。
點(diǎn)評(píng)：處理含有指數(shù)式的不等式問(wèn)題，借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)將含有指數(shù)式的不等式轉(zhuǎn)化為普通不等式問(wèn)題(一元一次、一元二次不等式)來(lái)處理。
題型6：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念與性質(zhì)
例11．(1)函數(shù)
的定義域是( )
A．
B．
C．
D．
(2)(2006湖北)設(shè)f(x)＝
，則
的定義域?yàn)? )
A．
B．(－4,－1)
(1，4)
C．(－2,－1)(1，2)
D．(－4,－2)(2，4)
解：(1)D(2)B。
點(diǎn)評(píng)：求函數(shù)定義域就是使得解析是有意義的自變量的取值范圍，在對(duì)數(shù)函數(shù)中只有真數(shù)大于零時(shí)才有意義。對(duì)于抽象函數(shù)的處理要注意對(duì)應(yīng)法則的對(duì)應(yīng)關(guān)系。
例12．對(duì)于
，
(1)函數(shù)的“定義域?yàn)镽”和“值域?yàn)镽”是否是一回事；
(2)結(jié)合“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)
在
上有意義”與“實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>
”說(shuō)明求“有意義”問(wèn)題與求“定義域”問(wèn)題的區(qū)別；
(3)結(jié)合(1)(2)兩問(wèn)，說(shuō)明實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)的值域?yàn)?sub>
(4)實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在
內(nèi)是增函數(shù)。
解：記
，則
；
(1)不一樣；
定義域?yàn)镽
恒成立。
得：
，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為
。
值域?yàn)镽：
值域?yàn)镽
至少取遍所有的正實(shí)數(shù)，
則
，解得實(shí)數(shù)a的取值范圍為
。
(2)實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)在上有意義：
命題等價(jià)于
對(duì)于任意
恒成立，
則
或
，
解得實(shí)數(shù)a得取值范圍為
。
實(shí)數(shù)a的取何值時(shí)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>：
由已知得二次不等式
的解集為可得
，則a=2。故a的取值范圍為{2}。
區(qū)別：“有意義問(wèn)題”正好轉(zhuǎn)化成“恒成立問(wèn)題”來(lái)處理，而“定義域問(wèn)題”剛好轉(zhuǎn)化成“取遍所有問(wèn)題”來(lái)解決(這里轉(zhuǎn)化成了解集問(wèn)題，即取遍解集內(nèi)所有的數(shù)值)
(3)易知
得值域是
，又得值域是
，
得
，故a得取值范圍為{－1，1}。
(4)命題等價(jià)于在上為減函數(shù)，且對(duì)任意的
恒成立，則
，解得a得取值范圍為
。
點(diǎn)評(píng)：該題主要考察復(fù)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域以及單調(diào)性問(wèn)題。解題過(guò)程中遇到了恒成立問(wèn)題，“恒為正”與“取遍所有大于零的數(shù)”不等價(jià)，同時(shí)又考察了一元二次函數(shù)函數(shù)值的分布情況，解題過(guò)程中結(jié)合三個(gè)“二次”的重要結(jié)論來(lái)進(jìn)行處理。
題型7：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用
例13．當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax和y=(1－a)x的圖象只可能是( )
解：當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)y=logax的圖象只能在A和C中選，
又a>1時(shí)，y=(1－a)x為減函數(shù)。
答案：B
點(diǎn)評(píng)：要正確識(shí)別函數(shù)圖像，一是熟悉各種基本函數(shù)的圖像，二是把握?qǐng)D像的性質(zhì)，根據(jù)圖像的性質(zhì)去判斷，如過(guò)定點(diǎn)、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性。
例14．設(shè)A、B是函數(shù)y= log2x圖象上兩點(diǎn), 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log2x圖象交于點(diǎn)C, 與直線AB交于點(diǎn)D。
(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)△ABC的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
解：(1)易知D為線段AB的中點(diǎn), 因A(a, log2a ), B(a+4, log2(a+4))，
所以由中點(diǎn)公式得D(a+2, log2
)。
(2)S△ABC=S梯形AA′CC′+S梯形CC′B′B- S梯形AA′B′B=…= log2
,
其中A′,B′,C′為A,B,C在x軸上的射影。
由S△ABC= log2>1, 得0< a<2
－2。
點(diǎn)評(píng)：解題過(guò)程中用到了對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，注意底數(shù)分類來(lái)處理，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)處理復(fù)雜問(wèn)題。
題型8：指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)綜合問(wèn)題
例15．在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…，對(duì)每個(gè)自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000(
)x(0<a<1)的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個(gè)以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形。
(1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；
(2)若對(duì)于每個(gè)自然數(shù)n，以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形，求a的取值范圍；
(3)設(shè)Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問(wèn)數(shù)列{Cn}前多少項(xiàng)的和最大？試說(shuō)明理由。
解：(1)由題意知：an=n+
,∴bn=2000()
。
(2)∵函數(shù)y=2000()x(0<a<10)遞減，
∴對(duì)每個(gè)自然數(shù)n,有bn>bn+1>bn+2。
則以bn,bn+1,bn+2為邊長(zhǎng)能構(gòu)成一個(gè)三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，
即()2+()－1>0，
解得a<－5(1+
)或a>5(
－1)。
∴5(－1)<a<10。
(3)∵5(－1)<a<10，∴a=7
∴bn=2000(
)。數(shù)列{bn}是一個(gè)遞減的正數(shù)數(shù)列，
對(duì)每個(gè)自然數(shù)n≥2,Bn=bnBn－1。
于是當(dāng)bn≥1時(shí)，Bn<Bn－1，當(dāng)bn<1時(shí)，Bn≤Bn－1，
因此數(shù)列{Bn}的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn≥1且bn+1<1，
由bn=2000()≥1得：n≤20。
∴n=20。
點(diǎn)評(píng)：本題題設(shè)從函數(shù)圖像入手，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性，最終還是根據(jù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合數(shù)列知識(shí)，以及三角形的面積解決了實(shí)際問(wèn)題。
例16．已知函數(shù)
為常數(shù))
(1)求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若a=2，試根據(jù)單調(diào)性定義確定函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
(3)若函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)，求a的取值范圍。
解：(1)由
∵a＞0，x≥0
∴f(x)的定義域是
。
(2)若a=2，則
設(shè)
， 則
故f(x)為增函數(shù)。
(3)設(shè)
①
∵f(x)是增函數(shù)，
∴f(x1)＞f(x2)
即
②
聯(lián)立①、②知a＞1，
∴a∈(1，+∞)。
點(diǎn)評(píng)：該題屬于純粹的研究復(fù)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的問(wèn)題，我們抓住對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，結(jié)合一般函數(shù)求定義域、單調(diào)性的解題思路，對(duì)“路”處理即可。
題型9：課標(biāo)創(chuàng)新題
例17．對(duì)于在區(qū)間
上有意義的兩個(gè)函數(shù)f(x)與g(x)，如果對(duì)任意的
，均有
，則稱f(x)與g(x)在上是接近的，否則稱f(x)與g(x)在上是非接近的，現(xiàn)有兩個(gè)函數(shù)
與
，給定區(qū)間
。
(1)若
與
在給定區(qū)間上都有意義，求a的取值范圍；
(2)討論與在給定區(qū)間上是否是接近的。
解：(1)兩個(gè)函數(shù)與在給定區(qū)間有意義，因?yàn)楹瘮?shù)
給定區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)在
給定區(qū)間上恒為正數(shù)，
故有意義當(dāng)且僅當(dāng)
；
(2)構(gòu)造函數(shù)
，
對(duì)于函數(shù)
來(lái)講，
顯然其在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增。
且
在其定義域內(nèi)一定是減函數(shù)。
由于
，得
所以原函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)單調(diào)遞減，只需保證
當(dāng)
時(shí)，與在區(qū)間上是接近的；
當(dāng)
時(shí)，與在區(qū)間上是非接近的。
點(diǎn)評(píng)：該題屬于信息給予的題目，考生首先理解“接近”與“非接近”的含義，再對(duì)含有對(duì)數(shù)式的函數(shù)的是否“接近”進(jìn)行研究，轉(zhuǎn)化成含有對(duì)數(shù)因式的不等式問(wèn)題，解不等式即可。
例18．設(shè)
，
，且
，求
的最小值。
解：令 
，
∵，，∴
。
由得
，∴
，
∴
，∵，∴
，即
，∴
，
∴
，
∵，∴當(dāng)
時(shí)，
。
點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合不等式知識(shí)處理最值問(wèn)題，這是出題的一個(gè)亮點(diǎn)。同時(shí)考察了學(xué)生的變形能力。
2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
(1)指數(shù)函數(shù)：
①定義：函數(shù)
稱指數(shù)函數(shù)，
1)函數(shù)的定義域?yàn)镽；2)函數(shù)的值域?yàn)?sub>
；
3)當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)
時(shí)函數(shù)為增函數(shù)。
②函數(shù)圖像：
1)指數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且圖象都在第一、二象限；
2)指數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線(當(dāng)時(shí)，圖象向左無(wú)限接近軸，當(dāng)時(shí)，圖象向右無(wú)限接近軸)；
3)對(duì)于相同的
，函數(shù)
的圖象關(guān)于
軸對(duì)稱。
|
(2)對(duì)數(shù)函數(shù)：
①定義：函數(shù)
稱對(duì)數(shù)函數(shù)，
1)函數(shù)的定義域?yàn)?sub>；2)函數(shù)的值域?yàn)镽；
3)當(dāng)時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
4)對(duì)數(shù)函數(shù)
與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。
②函數(shù)圖像：
1)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，且圖象都在第一、四象限；
2)對(duì)數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線(當(dāng)時(shí)，圖象向上無(wú)限接近軸；當(dāng)時(shí)，圖象向下無(wú)限接近軸)；
4)對(duì)于相同的，函數(shù)
的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。
③函數(shù)值的變化特征：
|
1．指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算
(1)根式的概念：
①定義：若一個(gè)數(shù)的
次方等于
，則這個(gè)數(shù)稱的次方根。即若
，則稱的次方根
，
1)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
次方根記作
；
2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)沒(méi)有次方根，而正數(shù)有兩個(gè)次方根且互為相反數(shù)，記作
。
②性質(zhì)：1)
；2)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，
；
3)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，
。
(2)．冪的有關(guān)概念
①規(guī)定：1)
N*；2)
；
n個(gè)
3)
Q，4)
、
N*
且
。
②性質(zhì)：1)
、
Q)；
2)
、 Q)；
3)
Q)。
(注)上述性質(zhì)對(duì)r、R均適用。
(3)．對(duì)數(shù)的概念
①定義：如果的b次冪等于N，就是
，那么數(shù)稱以為底N的對(duì)數(shù)，記作
其中稱對(duì)數(shù)的底，N稱真數(shù)。
1)以10為底的對(duì)數(shù)稱常用對(duì)數(shù)，
記作
；
2)以無(wú)理數(shù)
為底的對(duì)數(shù)稱自然對(duì)數(shù)，
，記作
；
②基本性質(zhì)：
1)真數(shù)N為正數(shù)(負(fù)數(shù)和零無(wú)對(duì)數(shù))；2)
；
3)
；4)對(duì)數(shù)恒等式：
。
③運(yùn)算性質(zhì)：如果
則
1)
；
2)
；
3)
R)。
④換底公式：
1)
；2)
。
2．題目形式多以指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來(lái)考察函數(shù)的性質(zhì)。同時(shí)它們與其它知識(shí)點(diǎn)交匯命題，則難度會(huì)加大。
指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)是三類常見(jiàn)的重要函數(shù)，在歷年的高考題中都占據(jù)著重要的地位。從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運(yùn)算推理，能運(yùn)用它們的性質(zhì)解決具體問(wèn)題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，明確算理，能對(duì)常見(jiàn)的指數(shù)型函數(shù)、對(duì)數(shù)型函數(shù)進(jìn)行變形處理。
預(yù)測(cè)2007年對(duì)本節(jié)的考察是：
1．題型有兩個(gè)選擇題和一個(gè)解答題；
3．知道指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)(a＞0，a≠1)。
1．指數(shù)函數(shù)
(1)通過(guò)具體實(shí)例(如細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等)，了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景；
(2)理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。
(3)理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)；
(4)在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型。
6．單調(diào)性是函數(shù)學(xué)習(xí)中非常重要的內(nèi)容，應(yīng)用十分廣泛，由于新教材增加了“導(dǎo)數(shù)”的內(nèi)容，所以解決單調(diào)性問(wèn)題的能力得到了很大的提高，因此解決具體函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，一般求導(dǎo)解決，而解決與抽象函數(shù)有關(guān)的單調(diào)性問(wèn)題一般需要用單調(diào)性定義解決。注意，關(guān)于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的知識(shí)一般用于簡(jiǎn)單問(wèn)題的分析，嚴(yán)格的解答還是應(yīng)該運(yùn)用定義或求導(dǎo)解決。
5．若存在常數(shù)T，使得f(x+T)=f(x)對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意x恒成立，則稱T為函數(shù)f(x)的周期，一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小正周期
周期函數(shù)的定義域一定是無(wú)限集。
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