2.二分法

二分法及步驟：

對(duì)于在區(qū)間，上連續(xù)不斷，且滿(mǎn)足·的函數(shù)，通過(guò)不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．

給定精度，用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟如下：

(1)確定區(qū)間，，驗(yàn)證·，給定精度；

(2)求區(qū)間，的中點(diǎn)；

(3)計(jì)算：

①若=，則就是函數(shù)的零點(diǎn)；

②若·<，則令=(此時(shí)零點(diǎn))；

③若·<，則令=(此時(shí)零點(diǎn))；

(4)判斷是否達(dá)到精度；

即若，則得到零點(diǎn)零點(diǎn)值(或)；否則重復(fù)步驟2~4。

注：函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)

從“數(shù)”的角度看：即是使的實(shí)數(shù)；

從“形”的角度看：即是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

若函數(shù)的圖象在處與軸相切，則零點(diǎn)通常稱(chēng)為不變號(hào)零點(diǎn)；

若函數(shù)的圖象在處與軸相交，則零點(diǎn)通常稱(chēng)為變號(hào)零點(diǎn)。

注：用二分法求函數(shù)的變號(hào)零點(diǎn)：二分法的條件·表明用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)。

1．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

(1)函數(shù)零點(diǎn)

概念：對(duì)于函數(shù)，把使成立的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。

函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。

二次函數(shù)的零點(diǎn)：

1)△＞0，方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

2)△＝0，方程有兩相等實(shí)根(二重根)，二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)；

3)△＜0，方程無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)。

零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線(xiàn)，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。既存在，使得，這個(gè)也就是方程的根。

函數(shù)與方程的理論是高中新課標(biāo)教材中新增的知識(shí)點(diǎn)，特別是“二分法”求方程的近似解也一定會(huì)是高考的考點(diǎn)。從近幾年高考的形勢(shì)來(lái)看，十分注重對(duì)三個(gè)“二次”(即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的考察力度，同時(shí)也研究了它的許多重要的結(jié)論，并付諸應(yīng)用。高考試題中有近一半的試題與這三個(gè)“二次”問(wèn)題有關(guān)。

預(yù)計(jì)2008年高考對(duì)本講的要求是：以二分法為重點(diǎn)、以二次函數(shù)為載體、以考察函數(shù)與方程的關(guān)系為目標(biāo)來(lái)考察學(xué)生的能力。

(1)題型可為選擇、填空和解答；

(2)高考試題中可能出現(xiàn)復(fù)合了函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)零點(diǎn)的綜合題，同時(shí)考察函數(shù)方程的思想。

2．根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。

1．結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系；

函數(shù)圖象的幾何特征與函數(shù)性質(zhì)的數(shù)量特征緊密結(jié)合，有效地揭示了各類(lèi)函數(shù)和定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的特征與方法，為此，既要從定形、定性、定理、定位各方面精確地觀(guān)察圖形、繪制圖形，又要熟練地掌握函數(shù)圖象的平移變換、對(duì)稱(chēng)變換。

常見(jiàn)的函數(shù)數(shù)字特征有：

(1)函數(shù)奇偶性：

奇函數(shù)；

偶函數(shù)。

(2)函數(shù)單調(diào)性：

單調(diào)遞增或；

單調(diào)遞增或。

(3)函數(shù)周期性

周期為：或；

(4)對(duì)稱(chēng)性

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：；

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：；

關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：或；

關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：或。

題型1：作圖

例1．(06重慶 理)如圖所示，單位圓中弧AB的長(zhǎng)為x,f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y=f(x)的圖象是(　　 )

解析：顯然當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于圓的面積減去以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點(diǎn)在直線(xiàn)的下方，故應(yīng)在C、D中選擇。而當(dāng)當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積等于圓的面積加上以圓的半徑為腰的等腰直角三角形的面積，，即點(diǎn)在直線(xiàn)的上方，故應(yīng)選擇D。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于實(shí)際應(yīng)用的題目，結(jié)合函數(shù)值變化的趨勢(shì)和一些特殊點(diǎn)函數(shù)值解決問(wèn)題即可。要明確函數(shù)圖像與函數(shù)自變量、變量值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，特別是函數(shù)單調(diào)性與函數(shù)圖象個(gè)關(guān)系；

例2．(1996上海，文、理8)在下列圖象中，二次函數(shù)y=ax²+bx與指數(shù)函數(shù)y=()^x的圖象只可能是(　　 )

解析一：由指數(shù)函數(shù)圖象可以看出0<<1。拋物線(xiàn)方程是y=a(x+)²－，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(－，－)，又由0<<1，可得－<－<0.觀(guān)察選擇支，可選A。

解析二：求y=ax²+bx與x軸的交點(diǎn)，令ax²+bx=0，解得x=0或x=－，而－1<－<0。故選A。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，源于課本，考查基本知識(shí)，難度不大。本題雖小，但一定要細(xì)致觀(guān)察圖象，注意細(xì)微之處，獲得解題靈感。

題型2：識(shí)圖

例3．(06江西 12)某地一年內(nèi)的氣溫(單位：℃)與時(shí)間(月份)之間的關(guān)系如圖所示，已知該年的平均氣溫為10℃，令表示時(shí)間段的平均氣溫，與之間的函數(shù)關(guān)系用下圖表示，則正確的應(yīng)該是(　　 )

解析：平均氣溫10℃與函數(shù)圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，觀(guān)察圖像可知兩交點(diǎn)的兩側(cè)都低于平均氣溫， 而中間高于平均氣溫。時(shí)間段內(nèi)的平均氣溫，應(yīng)該從開(kāi)始持續(xù)到平均氣溫左交點(diǎn)向右一段距離才開(kāi)始達(dá)到平均氣溫，持續(xù)上升一段時(shí)間，最后回落到平均氣溫。答案A。

點(diǎn)評(píng)：聯(lián)系生活，體會(huì)變量間的相互關(guān)系，重視觀(guān)察圖像的變化趨勢(shì)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)處理實(shí)際問(wèn)題。

例4．(2002上海文，理16)一般地，家庭用電量(千瓦時(shí))與氣溫(℃)有一定的關(guān)系，如圖2-1所示，圖(1)表示某年12個(gè)月中每月的平均氣溫.圖(2)表示某家庭在這年12個(gè)月中每個(gè)月的用電量.根據(jù)這些信息，以下關(guān)于該家庭用電量與其氣溫間關(guān)系的敘述中，正確的是(　　 )

圖

A．氣溫最高時(shí)，用電量最多

B．氣溫最低時(shí)，用電量最少

C．當(dāng)氣溫大于某一值時(shí)，用電量隨氣溫增高而增加

D．當(dāng)氣溫小于某一值時(shí)，用電量隨氣溫漸低而增加

解析：經(jīng)比較可發(fā)現(xiàn)，2月份用電量最多，而2月份氣溫明顯不是最高。因此A項(xiàng)錯(cuò)誤。同理可判斷出B項(xiàng)錯(cuò)誤。由5、6、7三個(gè)月的氣溫和用電量可得出C項(xiàng)正確。

點(diǎn)評(píng)：該題考查對(duì)圖表表達(dá)的函數(shù)的識(shí)別和理解能力，要從題目解說(shuō)入手，結(jié)合圖像和實(shí)際解決問(wèn)題。

題型3：函數(shù)的圖象變換

例5．(2002全國(guó)理，10)函數(shù)y=1－的圖象是(　　 )

解析一：該題考查對(duì)f(x)=圖象以及對(duì)坐標(biāo)平移公式的理解，將函數(shù)y=的圖形變形到y=，即向右平移一個(gè)單位，再變形到y=－即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn)，再變形到y=－+1，從而得到答案B。

解析二：可利用特殊值法，取x=0，此時(shí)y=1，取x=2，此時(shí)y=0。因此選B。

點(diǎn)評(píng)：借助函數(shù)圖像的變換規(guī)則解決實(shí)際問(wèn)題。

例6．(05廣東理　 9)在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)�，F(xiàn)將的圖象沿軸向左平移2個(gè)單位，再沿軸向上平移1個(gè)單位，所得的圖象是由兩條線(xiàn)段組成的折線(xiàn)(如圖2所示)，則函數(shù)的表達(dá)式為(　　 )

A．

B．

C．

D．

解析：原函數(shù)的圖像仍然是由兩條折線(xiàn)段組成，折線(xiàn)段的端點(diǎn)(－2，0)、(0，1)、(1，3)向下平移1個(gè)單位是端點(diǎn)(－2，－1)、(0，0)、(1，2)，再向右平移2個(gè)單位端點(diǎn)為(0，－1)、(2，0)、(3，2)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)后折線(xiàn)段端點(diǎn)為(－1，0)、(0，2)、(2，3)。答案A。

點(diǎn)評(píng)：該題是應(yīng)用函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式。由函數(shù)圖像的變換的函數(shù)的性質(zhì)逆向變換既可，注意函數(shù)圖像的變換中平移、對(duì)稱(chēng)都不會(huì)改變?cè)瓉?lái)函數(shù)的形狀。

題型4：函數(shù)圖象應(yīng)用

例7．函數(shù)與的圖像如下圖：則函數(shù)的圖像可能是(　　 )

解析：∵函數(shù)的定義域是函數(shù)與的定義域的交集，圖像不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，故可以排除C、D。

由于當(dāng)x為很小的正數(shù)時(shí)且，故。∴選A。

點(diǎn)評(píng)：明確函數(shù)圖像在x軸上下方與函數(shù)值符號(hào)改變的關(guān)系，數(shù)值相乘“同號(hào)為正、異號(hào)為負(fù)”。

例8．(2000春季北京、安徽，14)已知函數(shù)f(x)=ax³+bx²+cx+d的圖象如圖，求b的范圍。

解法一：觀(guān)察f(x)的圖象，可知函數(shù)f(x)的圖象過(guò)原點(diǎn)，即f(0)=0,得d=0，

又f(x)的圖象過(guò)(1，0)，

∴f(x)=a+b+c　　①

又有f(－1)＜0，即－a+b－c＜0　　　　 ②

①+②得b＜0，故b的范圍是(－∞，0)

解法二：如圖f(0)=0有三根0，1，2，

∴f(x)=ax³+bx²+cx+d=ax(x－1)(x－2)=ax³－3ax²+2ax，

∴b=－3a，

∵當(dāng)x>2時(shí)，f(x)>0，從而有a>0，

∴b＜0。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)觀(guān)察函數(shù)圖像，變形函數(shù)解析式，得參數(shù)的取值范圍。

題型5：函數(shù)圖像變換的應(yīng)用

例9．已知，方程的實(shí)根個(gè)數(shù)為(　 )

A．2　　　　　　 B．3　　　　　　 C．4　　　　　　 D．2或3或4

根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系，知方程的根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與函數(shù)的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

該題通過(guò)作圖很可能選錯(cuò)答案為A，這是我們作圖的易錯(cuò)點(diǎn)。若作圖標(biāo)準(zhǔn)的話(huà)，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系下畫(huà)出這兩個(gè)函數(shù)的圖像，由圖知當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)；當(dāng)時(shí)，圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。選項(xiàng)為D。

點(diǎn)評(píng)：該題屬于“數(shù)形結(jié)合”的題目。解題思路是將“函數(shù)的零點(diǎn)”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題”，借助函數(shù)的圖象以及函數(shù)的圖象變換規(guī)則求得結(jié)果即可。

例10．設(shè)，若，且，則的取值范圍是(　　 )

A．　　　　　　　　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　　　　 D．

解析：保留函數(shù)在x軸上方的圖像，將其在x軸下方的圖像翻折到x軸上方區(qū)即可得到函數(shù)的圖像。

通過(guò)觀(guān)察圖像，可知在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由，且可知，所以，，從而，即，又，所以。選項(xiàng)為A。

點(diǎn)評(píng)：考察函數(shù)圖像的翻折變換。體現(xiàn)了數(shù)學(xué)由簡(jiǎn)到繁的原則，通過(guò)研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，進(jìn)而得到的圖像和性質(zhì)。

題型6：冪函數(shù)概念及性質(zhì)

例11．函數(shù)互質(zhì))圖像如圖所示，則(　 )

A．均為奇數(shù)

B．一奇一偶

C．均為奇數(shù)

D．一奇一偶

解析：該題考察了冪函數(shù)的性質(zhì)，由于冪函數(shù)在第一象限的圖像趨勢(shì)表明函數(shù)在上單調(diào)遞減，此時(shí)只需保證，即，有；同時(shí)函數(shù)只在第一象限有圖像，則函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，此時(shí)定為偶數(shù)，即為偶數(shù)，由于兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則定為奇數(shù)。

答案：選項(xiàng)為B。

點(diǎn)評(píng)：該題突破了傳統(tǒng)借形言數(shù)思路，屬于“由圖形得解析式”的題目。為此需要分清冪函數(shù)在幾種不同情況下函數(shù)的圖像的特點(diǎn)，更甚至在同一種情形下取不同數(shù)值對(duì)函數(shù)圖像的影響也要了解。

例12．畫(huà)出函數(shù)的圖象，試分析其性質(zhì)。

解析：先要找出它是哪一種函數(shù)平移而來(lái)的，它應(yīng)是由反比例函數(shù)平移而來(lái)，(這種變換是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵)，由此說(shuō)明，是由圖象向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位得到的，如圖所示：具體畫(huà)圖時(shí)對(duì)于圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置要大致準(zhǔn)確，即。故圖象一定過(guò)(0，－1)和兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

再觀(guān)察其圖象可以得到如下性質(zhì)：定義域，單調(diào)區(qū)間上單調(diào)遞增；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，但是圖象是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是(3，－2)。

點(diǎn)評(píng)：冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決該類(lèi)問(wèn)題基礎(chǔ)。注意此題兩個(gè)增區(qū)間之間不能用并集號(hào)。

題型7：抽象函數(shù)問(wèn)題

例13．函數(shù)的定義域?yàn)镈：且滿(mǎn)足對(duì)于任意，有

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)判斷的奇偶性并證明；

(Ⅲ)如果上是增函數(shù)，求x的取值范圍。

(Ⅰ)解：令

(Ⅱ)證明：令

令

∴為偶函數(shù)。

(Ⅲ)

∴ (1)

∵上是增函數(shù)，　

∴(1)等價(jià)于不等式組：

∴

∴x的取值范 圍為

點(diǎn)評(píng)：以抽象函數(shù)為模型，考查函數(shù)概念，圖象函數(shù)的奇偶性和周期性以及數(shù)列極限等知識(shí)，還考查運(yùn)算能力和邏輯思維能力。認(rèn)真分析處理好各知識(shí)的相互聯(lián)系，抓住條件f(x₁+x₂)＝f(x₁)·f(x₂)找到問(wèn)題的突破口，由f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂)變形為是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

例14．(2005廣東19)設(shè)函數(shù) 上滿(mǎn)足，且在閉區(qū)間[0，7]上，只有

(Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性；

(Ⅱ)試求方程在閉區(qū)間[－2005，2005]上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。

解析：(Ⅰ)由

，

從而知函數(shù)的周期為

又，

，所以

故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)；

(II) 又

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有有兩個(gè)解，

從而可知函數(shù)在[0,2005]上有402個(gè)解，

在[－2005.0]上有400個(gè)解,所以函數(shù)在[－2005,2005]上有802個(gè)解。

點(diǎn)評(píng)：充分利用函數(shù)的數(shù)字特征，并將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的性質(zhì)，再來(lái)解題。

題型8：函數(shù)圖象綜合問(wèn)題

例15．如圖，點(diǎn)A、B、C都在函數(shù)y=的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別是a、a+1、a+2。又A、B、C在x軸上的射影分別是A′、B′、C′,記△AB′C的面積為f(a)，△A′BC′的面積為g(a)。

(1)求函數(shù)f(a)和g(a)的表達(dá)式；

(2)比較f(a)與g(a)的大小，并證明你的結(jié)論。

解： (1)連結(jié)AA′、BB′、CC′,

則f(a)=S_△AB′C=S_{梯形AA′C′C}－S_△AA′B′－S_△CC′B

=(A′A+C′C)=(),

g(a)=S_△A′BC′=A′C′·B′B=B′B=。

∴f(a)<g(a)。

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式、函數(shù)圖象、識(shí)圖能力、圖形的組合等，充分借助圖象信息，利用面積問(wèn)題的拆拼以及等價(jià)變形找到問(wèn)題的突破口，解題思路：圖形面積不會(huì)拆拼、數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化。

例16．設(shè)曲線(xiàn)的方程是，將沿軸、軸正方向分別平移、個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線(xiàn)，

(1)寫(xiě)出曲線(xiàn)的方程；

(2)證明曲線(xiàn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；

(3)如果曲線(xiàn)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，證明：

解析：(1)曲線(xiàn)的方程為；

(2)證明：在曲線(xiàn)上任意取一點(diǎn)，

設(shè)是關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則有，

∴。

代入曲線(xiàn)的方程，得的方程：。

即可知點(diǎn)在曲線(xiàn)上。

反過(guò)來(lái)，同樣證明，在曲線(xiàn)上的點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在曲線(xiàn)上。

因此，曲線(xiàn)與關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

(3)證明：因?yàn)榍�線(xiàn)與有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，

∴方程組有且僅有一組解，

消去，整理得，這個(gè)關(guān)于的一元二次方程有且僅有一個(gè)根，

∴，即得，

因?yàn)?sub>，所以。

點(diǎn)評(píng)：充分利用函數(shù)圖像變換的原則，解決復(fù)合問(wèn)題。

2．冪函數(shù)

在第一象限的圖象，可分為如圖中的三類(lèi)：

圖

　　　 在考查學(xué)生對(duì)冪函數(shù)性的掌握和運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題時(shí)，所涉及的冪函數(shù)中限于在集合中取值。

　　　 冪函數(shù)有如下性質(zhì)：

　　　 ⑴它的圖象都過(guò)(1，1)點(diǎn)，都不過(guò)第四象限，且除原點(diǎn)外與坐標(biāo)軸都不相交；

　　　 ⑵定義域?yàn)?i>R或的冪函數(shù)都具有奇偶性，定義域?yàn)?sub>的冪函數(shù)都不具有奇偶性；

　　　 ⑶冪函數(shù)都是無(wú)界函數(shù)；在第一象限中，當(dāng)時(shí)為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)為增函數(shù)；

　　　 ⑷任意兩個(gè)冪函數(shù)的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)(1，1)，至多有三個(gè)公共點(diǎn)；

1．函數(shù)圖象

(1)作圖方法：以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本講座的重點(diǎn)。

作函數(shù)圖象的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)即單調(diào)性、奇偶性、周期性、最值(甚至變化趨勢(shì))；④描點(diǎn)連線(xiàn)，畫(huà)出函數(shù)的圖象。

運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線(xiàn)要把表列在關(guān)鍵處，要把線(xiàn)連在恰當(dāng)處這就要求對(duì)所要畫(huà)圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢(shì)等作一個(gè)大概的研究。而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換，這也是個(gè)難點(diǎn)。

(2)三種圖象變換：平移變換、對(duì)稱(chēng)變換和伸縮變換等等；

①平移變換：

Ⅰ、水平平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向左或向右平移個(gè)單位即可得到；

1)y=f(x)y=f(x+h)；2)y=f(x) y=f(x-h)；

Ⅱ、豎直平移：函數(shù)的圖像可以把函數(shù)的圖像沿軸方向向上或向下平移個(gè)單位即可得到；

1)y=f(x) y=f(x)+h；2)y=f(x) y=f(x)-h。

②對(duì)稱(chēng)變換：

Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)即可得到；

y=f(x) y=f(-x)

Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)即可得到；

y=f(x) y= -f(x)

Ⅲ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)即可得到；

y=f(x) y= -f(-x)

Ⅳ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)得到。

y=f(x) x=f(y)

Ⅴ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)即可得到；

y=f(x) y=f(2a-x)。

③翻折變換：

Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像的軸下方部分沿軸翻折到軸上方，去掉原軸下方部分，并保留的軸上方部分即可得到；

Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像右邊沿軸翻折到軸左邊替代原軸左邊部分并保留在軸右邊部分即可得到

④伸縮變換：

Ⅰ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮()為原來(lái)的倍得到；

y=f(x)y=af(x)

Ⅱ、函數(shù)的圖像可以將函數(shù)的圖像中的每一點(diǎn)縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)或壓縮()為原來(lái)的倍得到。

f(x)y=f(x)y=f()

(3)識(shí)圖：分布范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性、周期性等等方面。

函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以在高考中，函數(shù)知識(shí)占有極其重要的地位。其試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類(lèi)與討論、數(shù)與形結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想、能力。知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、考能力、考素質(zhì)的主陣地。

從歷年高考形勢(shì)來(lái)看：

(1)與函數(shù)圖象有關(guān)的試題，要從圖中(或列表中)讀取各種信息，注意利用平移變換、伸縮變換、對(duì)稱(chēng)變換，注意函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、函數(shù)值的變化趨勢(shì)，培養(yǎng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)解題的能力，會(huì)利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問(wèn)題；

(2)函數(shù)綜合問(wèn)題多以知識(shí)交匯題為主，甚至以抽象函數(shù)為原型來(lái)考察；

(3)與冪函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題主要以為主，利用它們的圖象及性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題；

預(yù)測(cè)07年高考函數(shù)圖象：(1)題型為1到2個(gè)填空選擇題；(2)題目多從由解析式得函數(shù)圖象、數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題等方面出題；

函數(shù)綜合問(wèn)題：(1)題型為1個(gè)大題；(2)題目多以知識(shí)交匯題目為主，重在考察函數(shù)的工具作用；

冪函數(shù)：?jiǎn)为?dú)出題的可能性很小，但一些具體問(wèn)題甚至是一些大題的小過(guò)程要應(yīng)用其性質(zhì)來(lái)解決；