3、曲線運(yùn)動(dòng)條件的應(yīng)用

做曲線運(yùn)動(dòng)的物體，其軌跡向合外力所指的一方彎曲，若已知物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，可判斷出合外力的大致方向．若合外力為變力，則為變加速運(yùn)動(dòng)；若合外力為恒力，則為勻變速運(yùn)動(dòng)；

[例10]質(zhì)量為m的物體受到一組共點(diǎn)恒力作用而處于平衡狀態(tài)，當(dāng)撤去某個(gè)恒力F₁時(shí)，物體可能做(　　 )

A．勻加速直線運(yùn)動(dòng)；　　 B．勻減速直線運(yùn)動(dòng)；

C．勻變速曲線運(yùn)動(dòng)；　　 D．變加速曲線運(yùn)動(dòng)。

分析與解：當(dāng)撤去F₁時(shí)，由平衡條件可知：物體此時(shí)所受合外力大小等于F₁，方向與F₁方向相反。

若物體原來(lái)靜止，物體一定做與F₁相反方向的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

若物體原來(lái)做勻速運(yùn)動(dòng)，若F₁與初速度方向在同一條直線上，則物體可能做勻加速直線運(yùn)動(dòng)或勻減速直線運(yùn)動(dòng)，故A、B正確。

若F₁與初速度不在同一直線上，則物體做曲線運(yùn)動(dòng)，且其加速度為恒定值，故物體做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，故C正確，D錯(cuò)誤。正確答案為：A、B、C。

[例11]圖中實(shí)線是一簇未標(biāo)明方向的由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)線，虛線是某一帶電粒子通過(guò)該電場(chǎng)區(qū)域時(shí)的運(yùn)動(dòng)軌跡,a,b是軌跡上的兩點(diǎn)．若帶電粒子在運(yùn)動(dòng)中只受電場(chǎng)力作用，根據(jù)此圖可作出正確判斷的是()

A.帶電粒子所帶電荷的符號(hào)　　　 B.帶電粒子在a,b兩點(diǎn)的受力方向

C.帶電粒子在a,b兩點(diǎn)的速度何處較大　 D.帶電粒子在a,b兩點(diǎn)的電勢(shì)能何處較大

解析：由圖中的曲線可以看出，不管帶電粒子由a→b還是由b→a，力的方向必然指向左下方，從而得到正確答案：BCD

思考：若實(shí)線為等勢(shì)線，該題又該如何分析

[例12] 如圖所示，在豎直平面的xoy坐標(biāo)系內(nèi)，oy表示豎直向上方向。該平面內(nèi)存在沿x軸正向的勻強(qiáng)電場(chǎng)。一個(gè)帶電小球從坐標(biāo)原點(diǎn)沿oy方向豎直向上拋出，初動(dòng)能為4J，不計(jì)空氣阻力。它達(dá)到的最高點(diǎn)位置如圖中M點(diǎn)所示。求：

⑴小球在M點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E₁。⑵在圖上標(biāo)出小球落回x軸時(shí)的位置N。⑶小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E₂。

解：⑴在豎直方向小球只受重力，從O→M速度由v₀減小到0；在水平方向小球只受電場(chǎng)力，速度由0增大到v₁，由圖知這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)平均速度大小之比為2∶3，因此v₀∶v₁=2∶3，所以小球在M點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能E₁=9J。

⑵由豎直分運(yùn)動(dòng)知，O→M和M→N經(jīng)歷的時(shí)間相同，因此水平位移大小之比為1∶3，故N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為12。

⑶小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的豎直分速度為v₀，水平分速度為2v₁，由此可得此時(shí)動(dòng)能E₂=40J。

　　　　　　　 平拋物體的運(yùn)動(dòng)

知識(shí)簡(jiǎn)析 一、平拋物體的運(yùn)動(dòng)

2、小船渡河問(wèn)題分析

[例9]一條寬度為L(zhǎng)的河，水流速度為v_s，已知船在靜水中的航速為v_c，那么，(1)怎樣渡河時(shí)間最短？(2)若v_s＜v_c怎樣渡河位移最小？(3)若v_s＞v_c，怎樣渡河船漂下的距離最短？

分析與解：(1)如圖2甲所示，設(shè)船上頭斜向上游與河岸成任意角θ，這時(shí)船速在垂直于河岸方向的速度分量V₁=V_csinθ,渡河所需時(shí)間為：.

可以看出：L、V_c一定時(shí)，t隨sinθ增大而減�。划�(dāng)θ=90⁰時(shí)，sinθ=1,所以，當(dāng)船頭與河岸垂直時(shí)，渡河時(shí)間最短，.

(2)如圖2乙所示，渡河的最小位移即河的寬度。為了使渡河位移等于L，必須使船的合速度V的方向與河岸垂直。這是船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ。根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系有：V_ccosθ─V_s=0.

所以θ=arccosV_s/V_c,因?yàn)?≤cosθ≤1,所以只有在V_c>V_s時(shí)，船才有可能垂直于河岸橫渡。

(3)如果水流速度大于船上在靜水中的航行速度，則不論船的航向如何，總是被水沖向下游。怎樣才能使漂下的距離最短呢？如圖2丙所示，設(shè)船頭V_c與河岸成θ角，合速度V與河岸成α角�？梢钥闯觯害两窃酱�，船漂下的距離x越短，那么，在什么條件下α角最大呢？以V_s的矢尖為圓心，以V_c為半徑畫(huà)圓，當(dāng)V與圓相切時(shí)，α角最大，根據(jù)cosθ=V_c/V_s,船頭與河岸的夾角應(yīng)為：θ=arccosV_c/V_s.

船漂的最短距離為：.　 此時(shí)渡河的最短位移為：.

思考：①小船渡河過(guò)程中參與了哪兩種運(yùn)動(dòng)？這兩種運(yùn)動(dòng)有何關(guān)系？

②過(guò)河的最短時(shí)間和最短位移分別決定于什么？

3.重點(diǎn)掌握的兩種情況：一是加速度大小、方向都不變的曲線運(yùn)動(dòng)，叫勻變曲線運(yùn)動(dòng)，如平拋運(yùn)動(dòng)；另一是加速度大小不變、方向時(shí)刻改變的曲線運(yùn)動(dòng)，如勻速圓周運(yùn)動(dòng)．

規(guī)律方法　 1、運(yùn)動(dòng)的合成與分解的應(yīng)用

合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系：滿足等時(shí)性與獨(dú)立性．即各個(gè)分運(yùn)動(dòng)是獨(dú)立進(jìn)行的，不受其他運(yùn)動(dòng)的影響，合運(yùn)動(dòng)和各個(gè)分運(yùn)動(dòng)經(jīng)歷的時(shí)間相等，討論某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程的時(shí)間，往往可直接分析某一分運(yùn)動(dòng)得出．

[例2]小船從甲地順?biāo)�到乙地用時(shí)t₁，返回時(shí)逆水行舟用時(shí)t₂，若水不流動(dòng)完成往返用時(shí)t₃，設(shè)船速率與水流速率均不變，則(　　　 )

　 A．t₃＞t₁+t₂ ；　 B．t₃＝t₁+t₂；　 C．t₃＜t₁+t₂ ；　 D．條件不足，無(wú)法判斷

解析：設(shè)船的速度為V，水的速度為v₀，則

<故選C

[例3]如圖所示，A、B兩直桿交角為θ，交點(diǎn)為M，若兩桿各以垂直于自身的速度V₁、V₂沿著紙面運(yùn)動(dòng)，則交點(diǎn)M的速度為多大？

　 解析：如圖所示，若B桿不動(dòng)，A桿以V₁速度運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)將沿B桿移動(dòng)，速度為V，V=V₁／sinθ．若A桿不動(dòng)，B桿移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)M將沿A桿移動(dòng)，速度為V，V=V₂／sinθ．兩桿一起移動(dòng)時(shí)，交點(diǎn)M的速度v_M可看成兩個(gè)分速度V和V的合速度，故v_M的大小為v_M==

[例4]玻璃板生產(chǎn)線上，寬9m的成型玻璃板以4m／s的速度連續(xù)不斷地向前行進(jìn)，在切割工序處，金剛鉆的走刀速度為8m／s，為了使割下的玻璃板都成規(guī)定尺寸的矩形，金剛鉆割刀的軌道應(yīng)如何控制？切割一次的時(shí)間多長(zhǎng)？

　解析：要切成矩形則割刀相對(duì)玻璃板的速度垂直v，如圖設(shè)v_刀與v_玻方向夾角為θ，cosθ=v_玻/v_刀=4/8，則θ=30⁰。v===4m/s。時(shí)間t=s/v=9/4=2·45s

[例5]如圖所示的裝置中，物體A、B的質(zhì)量m_A＞m_B。最初，滑輪兩側(cè)的輕繩都處于豎直方向，若用水平力F向右拉A，起動(dòng)后，使B勻速上升。設(shè)水平地面對(duì)A的摩擦力為f,繩對(duì)A的拉力為T(mén)，則力f,T及A所受合力F_合的大小()

A.F_合≠O,f減小，T增大；B.F_合≠O,f增大，T不變；

C. F_合＝O,f增大，T減��；D. F_合＝O,f減小，T增大；

分析:顯然此題不能整體分析。B物體勻速上升為平衡狀態(tài)，所受的繩拉力T恒等于自身的重力，保持不變。A物體水平運(yùn)動(dòng)，其速度可分解為沿繩長(zhǎng)方向的速度(大小時(shí)刻等于B物體的速度)和垂直于繩長(zhǎng)的速度(與B物體的速度無(wú)關(guān))，寫(xiě)出A物體速度與B物體速度的關(guān)系式，可以判斷是否勻速，從而判斷合力是否為零。

解：隔離B物體：T=m_Bg，保持不變。隔離A物體：受力分析如圖所示，設(shè)繩與水平線夾角為θ，則：

①隨A物體右移，θ變小，由豎直平衡可以判斷支持力變大。由f=μN(yùn)，得f變大。

②將A物體水平運(yùn)動(dòng)分解如圖所示，有v_B＝v_Acosθ，故隨θ變小，cosθ變大，V_B不變，V_A變小，A物體速度時(shí)時(shí)改變，必有F_合≠O。

所得結(jié)論為：F_合≠O，f變大，T不變。B項(xiàng)正確。

[例6]兩個(gè)寬度相同但長(zhǎng)度不同的臺(tái)球框固定在水平面上，從兩個(gè)框的長(zhǎng)邊同時(shí)以相同的速度分別發(fā)出小球A和B，如圖所示，設(shè)球與框邊碰撞時(shí)無(wú)機(jī)械能損失，不計(jì)摩擦，則兩球回到最初出發(fā)的框邊的先后是(　　 )

A. A球先回到出發(fā)框邊　　　 B球先回到出發(fā)框邊

C.兩球同時(shí)回到出發(fā)框邊　　　 D.因兩框長(zhǎng)度不明，故無(wú)法確定哪一個(gè)球先回到出發(fā)框邊

解析：小球與框邊碰撞無(wú)機(jī)械能損失，小球每次碰撞前后的運(yùn)動(dòng)速率不變，且遵守反射定律。以A球進(jìn)行分析，如圖。

小球沿AC方向運(yùn)動(dòng)至C處與長(zhǎng)邊碰后，沿CD方向運(yùn)動(dòng)到D處與短邊相碰，最后沿DE回到出發(fā)邊。經(jīng)對(duì)稱得到的直線A^/CDE^/的長(zhǎng)度與折線ACDE的總長(zhǎng)度相等。

框的長(zhǎng)邊不同，只要出發(fā)點(diǎn)的速度與方向相同，不論D點(diǎn)在何處，球所通過(guò)的總路程總是相同的，不計(jì)碰撞時(shí)間，故兩球應(yīng)同時(shí)到達(dá)最初出發(fā)的框邊。答案：C

也可用分運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)求解：小球垂直于框邊的分速度相同，反彈后其大小也不變，回到出發(fā)邊運(yùn)動(dòng)的路程為臺(tái)球桌寬度的兩倍，故應(yīng)同時(shí)回到出發(fā)邊。

[例7]如圖所示，A、B兩物體系在跨過(guò)光滑定滑輪的一根輕繩的兩端，當(dāng)A物體以速度v向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，系A(chǔ),B的繩分別與水平方向成a、β角，此時(shí)B物體的速度大小為　　　　　　 ，方向水平向右

解析：根據(jù)A,B兩物體的運(yùn)動(dòng)情況，將兩物體此時(shí)的速度v和v_B分別分解為兩個(gè)分速度v₁(沿繩的分量)和v₂(垂直繩的分量)以及v_B1(沿繩的分量)和v_B2(垂直繩的分量)，如圖，由于兩物體沿繩的速度分量相等，v₁＝v_B1，vcosα＝v_Bcosβ.

則B物體的速度方向水平向右，其大小為

[例8]一個(gè)半徑為R的半圓柱體沿水平方向向右以速度V₀勻速運(yùn)動(dòng)。在半圓柱體上擱置一根豎直桿，此桿只能沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，如圖7所示。當(dāng)桿與半圓柱體接觸點(diǎn)P與柱心的連線與豎直方向的夾角為θ，求豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度。

解析：設(shè)豎直桿運(yùn)動(dòng)的速度為V₁，方向豎直向上，由于彈力方向沿OP方向，所以V₀、V₁在OP方向的投影相等，即有　 ，解得V₁=V₀.tgθ.

2．物體做一般曲線運(yùn)動(dòng)的條件：運(yùn)動(dòng)物體所受的合外力(或加速度)的方向跟它的速度方向不在同一直線上(即合外力或加速度與速度的方向成一個(gè)不等于零或π的夾角)．

說(shuō)明：當(dāng)物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為銳角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)速率將增大，當(dāng)物體受到的合外力的方向與速度方向的夾角為鈍角時(shí)，物體做曲線運(yùn)動(dòng)的速率將減小。

1．曲線運(yùn)動(dòng)是指物體運(yùn)動(dòng)的軌跡為曲線；曲線運(yùn)動(dòng)的速度方向是該點(diǎn)的切線方向；曲線運(yùn)動(dòng)速度方向不斷變化，故曲線運(yùn)動(dòng)一定是變速運(yùn)動(dòng)．

(1)等時(shí)性：合運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間和對(duì)應(yīng)的每個(gè)分運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間相等．

(2)獨(dú)立性：一個(gè)物體可以同時(shí)參與幾個(gè)不同的分運(yùn)動(dòng)，各個(gè)分運(yùn)動(dòng)獨(dú)立進(jìn)行，互不影響．

(3)等效性:合運(yùn)動(dòng)和分運(yùn)動(dòng)是等效替代關(guān)系，不能并存；

(4)矢量性:加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四邊形定則。

[例1]如圖所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向運(yùn)動(dòng)的小車(chē)A，小車(chē)下裝有吊著物體B的吊鉤．在小車(chē)A與物體B以相同的水平速度沿吊臂方向勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，吊鉤將物體B向上吊起，A、B之間的距離以 (SI)(SI表示國(guó)際單位制，式中H為吊臂離地面的高度)規(guī)律變化，則物體做

(A)速度大小不變的曲線運(yùn)動(dòng)．　 (B)速度大小增加的曲線運(yùn)動(dòng)．

(C)加速度大小方向均不變的曲線運(yùn)動(dòng)．

(D)加速度大小方向均變化的曲線運(yùn)動(dòng)． 答案：B C

4．速度分解的一個(gè)基本原則就是按實(shí)際效果來(lái)進(jìn)行分解，常用的思想方法有兩種：一種思想方法是先虛擬合運(yùn)動(dòng)的一個(gè)位移，看看這個(gè)位移產(chǎn)生了什么效果，從中找到運(yùn)動(dòng)分解的辦法；另一種思想方法是先確定合運(yùn)動(dòng)的速度方向(物體的實(shí)際運(yùn)動(dòng)方向就是合速度的方向)，然后分析由這個(gè)合速度所產(chǎn)生的實(shí)際效果，以確定兩個(gè)分速度的方向．

3．將速度正交分解為 v_x＝vcosα和v_y=vsinα是常用的處理方法．

2．運(yùn)動(dòng)分解也遵循矢量運(yùn)算的平行四邊形定則．

1．已知合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)叫運(yùn)動(dòng)的分解．