5. 設(shè)定義域為R的函數(shù),則關(guān)于的方程有7個不同實(shí)數(shù)解的充要條件是 ( )
A. 且 B. 且 C. 且 D. 且
4. 若函數(shù),則該函數(shù)在上是 ( )
A. 單調(diào)遞減無最小值 B. 單調(diào)遞減有最小值
C. 單調(diào)遞增無最大值 D. 單調(diào)遞增有最大值
3. 設(shè)函數(shù)的定義域為,有下列三個命題:
(1)若存在常數(shù),使得對任意,有,則是函數(shù)的最大值;
(2)若存在,使得對任意,且,有,則是函數(shù)的最大值;
(3)若存在,使得對任意,有,則是函數(shù)的最大值.這些命題中,真命題的個數(shù)是 ( )
A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個
2. 函數(shù) ( )
1. 函數(shù)y=|log2x|的圖象是 ( )
3、復(fù)習(xí)建議
(1)認(rèn)真落實(shí)本章的每個知識點(diǎn),注意揭示概念的數(shù)學(xué)本質(zhì)
①函數(shù)的表示方法除解析法外還有列表法、圖象法,函數(shù)的實(shí)質(zhì)是客觀世界中量的變化的依存關(guān)系;
②中學(xué)數(shù)學(xué)中的“正、反比例函數(shù),一次、二次函數(shù),指數(shù)、對數(shù)函數(shù),三角函數(shù)”稱為基本初等函數(shù),其余的函數(shù)的解析式都是由這些基本初等函數(shù)的解析式形成的. 要把基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)聯(lián)系起來,并且理解記憶;
③掌握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的一般判定方法,并能聯(lián)系其相應(yīng)的函數(shù)的圖象特征,加強(qiáng)對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性應(yīng)用的訓(xùn)練;
④注意函數(shù)圖象的變換:平移變換、伸縮變換、對稱變換等;
⑤掌握復(fù)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性;
(2)以函數(shù)知識為依托,滲透基本數(shù)學(xué)思想和方法
①數(shù)形結(jié)合的思想,即要利用函數(shù)的圖象解決問題;
②建模方法,要能在實(shí)際問題中引進(jìn)變量,建立函數(shù)模型,進(jìn)而提高解決應(yīng)用題的能力,培養(yǎng)函數(shù)的應(yīng)用意識。
(3)深刻理解函數(shù)的概念,加強(qiáng)與各章知識的橫向聯(lián)系
要與時俱進(jìn)地認(rèn)識本章內(nèi)容的“雙基”,準(zhǔn)確、深刻地理解函數(shù)的概念,才能正確、靈活地加以運(yùn)用,養(yǎng)成自覺地運(yùn)用函數(shù)觀點(diǎn)思考和處理問題的習(xí)慣;高考范圍沒有的內(nèi)容例如指數(shù)不等式(方程)、對數(shù)不等式(方程)等不再作深入研究;導(dǎo)數(shù)可用來證明函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的最大值和最小值,并啟發(fā)學(xué)生建構(gòu)更加完整的函數(shù)知識結(jié)構(gòu)。
所謂函數(shù)思想,實(shí)質(zhì)上是將問題放到動態(tài)背景上去考慮,利用函數(shù)觀點(diǎn)可以從較高的角度處理式、方程、不等式、數(shù)列、曲線等問題。
[典型例題]
例1. 設(shè)是R上的偶函數(shù),且在區(qū)間上遞增,若成立,求a的取值范圍。
解:
故為所求。
例2. 關(guān)于x的不等式2·32x–3x+a2–a–3>0,當(dāng)0≤x≤1時恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
解:設(shè)t=3x,則t∈[1,3],原不等式可化為a2–a–3>–2t2+t,t∈[1,3].
等價于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在[1,3]上的最大值.
答案:(–∞,–1)∪(2,+∞)
例3. 設(shè)是定義在上的奇函數(shù),的圖象與的圖象關(guān)于直線對稱,而當(dāng)時,(c為常數(shù))。
(1)求的表達(dá)式;
(2)對于任意,且,求證:;
(3)對于任意,且,求證:1.
解:(1)設(shè)g(x)上點(diǎn)與f(x)上點(diǎn)P(x,y)對應(yīng),
∴ ;∵在g(x)圖象上
∴
∵g(x)定義域為x∈[2,3],而f(x)的圖象與g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,
所以,上述解析式是f(x)在[–1,0]上的解析式
∵f(x)是定義在[–1,1]上的奇函數(shù),∴f(0)=0,∴c=–4
所以,當(dāng)x∈[0,1]時,–x∈[–1,0],f(x)=–f(–x)=–
所以
(2)當(dāng)x∈[0,1]時,
∵,∴,所以
(3)∵,∴
∴,∴
即
例4. 設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,且滿足① ②存在正常數(shù)a,使f(a) = 1,求證:(1)f(x)為奇函數(shù);(2)f(x)為周期函數(shù),且一個周期為4a。
證明:(1)令x =x1 - x2
則f( - x) = f ( x2 - x1)=
= -f (x1 -x2 )= -f (x),∴f (x)為奇函數(shù)。
(2)∵f( x+a ) = f[x - ( -a ) ]=
∴f (x+2a )=
∴f ( x+4a)==f (x)
∴f (x)是以4a為周期的周期函數(shù)。
例5. 已知函數(shù)f(x)=logm
(1)若f(x)的定義域為,(β>α>0),判斷f(x)在定義域上的增減性,并加以說明;
(2)當(dāng)0<m<1時,使f(x)的值域為的定義域區(qū)間為
(β>α>0)是否存在?請說明理由.
解:(1)x<–3或x>3.
∵f(x)定義域為,∴α>3
設(shè)β≥x1>x2≥α,有
當(dāng)0<m<1時,f(x)為減函數(shù),當(dāng)m>1時,f(x)為增函數(shù).
(2)若f(x)在上的值域為
∵0<m<1, f(x)為減函數(shù).
∴
即
即α,β為方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的兩個根
∴ ∴0<m<
故當(dāng)0<m<時,滿足題意條件的m存在.
例6. 已知函數(shù)f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)
(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的兩個實(shí)根,A、B是銳角三角形ABC的兩個內(nèi)角.求證:m≥5;
(2)對任意實(shí)數(shù)α,恒有f(2+cosα)≤0,證明m≥3;
(3)在(2)的條件下,若函數(shù)f(sinα)的最大值是8,求m.
解:(1)證明:f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依題意:
又A、B銳角為三角形ABC內(nèi)兩內(nèi)角
∴<A+B<π
∴tan(A+B)<0,即
∴∴m≥5
(2)證明:∵f(x)=(x–1)(x–m)
又–1≤cosα≤1,∴1≤2+cosα≤3,恒有f(2+cosα)≤0
即1≤x≤3時,恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0
∴m≥x但xmax=3,∴m≥xmax=3
(3)解:∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m=
且≥2,∴當(dāng)sinα=–1時,f(sinα)有最大值8.
即1+(m+1)+m=8,∴m=3
例7. 已知函數(shù)的定義域為實(shí)數(shù)集。(1)求實(shí)數(shù)m的所有允許值組成的集合M;(2)求證:對所有,恒有 。
證明(1)∵的定義域為實(shí)數(shù)集
(2)令
例8. 設(shè)=,(a>0,a≠1),求證:(1)過函數(shù)y=f(x)圖象上任意兩點(diǎn)直線的斜率恒大于0;(2)f(3)>3。
解:(1)令t=,則x=,f(x)= (t∈R)
∴f(x)= (x∈R)
設(shè),f()-f()=
(1)a>1時,…,f()<f(),∴f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增
(2)0<a<1時,…,f()<f(),∴f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增
∴<時,恒有f()<f(),∴k=>0
(2)f(3)=
∵a>0,a≠1 ∴ ∴上述不等式不能取等號,∴f(3)>3
例9. 已知函數(shù)f(x)=lg(的定義域為(0,+∞),問是否存在這樣的a,b,使f(x)恰在(1,+∞)上取正值,且f(3)=lg4,若存在,求出a,b的值,若不存在,說明理由。
解:由,得,∵a>1>b>0,∴>1,∴x>log
又f(x)定義域為(0,+∞),∴l(xiāng)og=0,k=1,∴f(x)=lg
設(shè)0<,,∵a>1>b>0,∴a< a,-b< b
∴0< a-b< a- b,∴0<<1,∴l(xiāng)g<0
∴,∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
∴x(1,+∞)時,必有f(x)>f(1)=lg(a-b)
∵f(x)在(1,+∞)上取正值,∴l(xiāng)g(a-b)=0 a-b=1 (1)
又f(3)=lg4 ∴l(xiāng)g=lg4, =4 (2)
解(1)(2)得:,b=,即有在,b=時滿足題設(shè)條件。
例10. 設(shè)二次函數(shù)f(x)= ax2 +bx+c (a>0且b≠0)。
(1)已知|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|=1,試求f(x)的解析式和f(x)的最小值;
(2)已知f(x)的對稱軸方程是x=1,當(dāng)f(x)的圖象在x軸上截得的弦長不小于2時,試求a, b, c滿足的條件;
(3)已知|b|<a, |f(0)|1, |f(-1)|1, |f(1)|1,當(dāng)|x|1時,證明:|f(x)|
解:(1)由|f(0)|=|f(1)|=|f(-1)|知|c|=1,|a+b+c|=1,|a-b+c|=1
∴(a+b+c)2=(a-b+c)2即4(a+c)b=0
∵b≠0 ∴a+c=0,即:a=-c
又∵a>0 ∴a=1 c=-1 此時b=+1 ∴f(x)=x2 + x-1
于是 f(x)=(x + )2 ∴[f(x)]
(2)依題意即b=-2a,∵a>0且b≠0 ∴b<0
令f(x)=0的兩根為x1,x2,則函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸的兩個交點(diǎn)為(x1,0),(x2,0)
且,滿足題設(shè)的充要條件是
∴a>0,c0,b<0且b=-2a為所求
(3)方法1:
∵|2b|=|(a+b+c)-(a-b+c)|<|a+b+c|+|a-b+c|<2 ∴|b|1 又|b||a| ∴1
又|c|=|f(0)|1 又|f(
而f(x)所示開口向上的拋物線且|x|<1,則|f(x)|的最大值應(yīng)在x=1或x=-1或x=-時取到,因|f(-1)|<1, |f(1)|1, |f(-)| 故|f(x)|得證。
方法2:
令f(x)=uf(1)+vf(-1)+(1-u-v)f(0) 則f(x)=(a+b+c)u+(a-b+c)v+(1-u-v)c
ax2 +bx+c=a(u+v)+b(u-v)+c
∴
∴f(x)=
而|f(1)| 1, |f(-1)|1, |f(0)|1
∴< x∈[-1, 1]
=|x|·==
綜上,當(dāng)|f(0)|1, |f (-1)|1, |f(-1)|1, |x|1時,|f(x)|
方法3:我們可以把,和當(dāng)成兩個獨(dú)立條件,先用和來表示.
∵ ,
∴ ,
∴ .
∴ 當(dāng)時,,所以,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)可得:
,,
∴
綜上,問題獲證.
[模擬試題]
2、熱點(diǎn)分析
函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一,函數(shù)的觀點(diǎn)和思想方法貫穿整個高中數(shù)學(xué)的全過程,包括解決幾何問題。在近幾年的高考試卷中,選擇題、填空題、解答題三種題型中每年都有函數(shù)試題,而且?汲P。以基本函數(shù)為背景的應(yīng)用題和綜合題是高考命題的新趨勢。
考試熱點(diǎn):①考查函數(shù)的表示法、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性和函數(shù)的圖象。②函數(shù)與方程、不等式、數(shù)列是相互關(guān)聯(lián)的概念,通過對實(shí)際問題的抽象分析,建立相應(yīng)的函數(shù)模型并用來解決問題,是考試的熱點(diǎn)。
③考查運(yùn)用函數(shù)的思想來觀察問題、分析問題和解決問題,滲透數(shù)形結(jié)合和分類討論的基本數(shù)學(xué)思想。
1、高考要求
(1)了解映射的概念,理解函數(shù)的概念.
(2)了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念,掌握判斷一些簡單函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法,并能利用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖像的繪制過程.
(3)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)的概念,掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì). 掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).
(4)理解對數(shù)的概念,掌握對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì). 掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì).
(5)能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡單的實(shí)際問題.
專題:函數(shù)
(四)說明書式
福建 考生
產(chǎn)品名:心靈牌天平
測量物:有待認(rèn)知的事物
構(gòu)件:靈魂骨架一個,心靈托盤兩件,“親疏關(guān)系”、“眼觀”、“耳聽”、“心品”四套砝碼各一
精確度:因人而異!
使用方法細(xì)則及示例:
(1)遵守左盤放物、右盤放碼的總原則;
(2)若只放“親疏關(guān)系”碼則測量必不準(zhǔn)!下示例以作警示:
①古有賢人形貌昳麗,窺鏡自視,自知不若另一男子徐公者。賢人問其妻、其妾、其客:“我與徐公,孰美?”其妻曰:“徐公不若君之美也!”其妾、其客皆曰:“群美甚,徐公何能及君也!”妻妾客皆以“親疏關(guān)系”碼去測量此美男子,從而導(dǎo)致結(jié)果與事實(shí)大相徑庭。該賢人喟嘆不已。
、谖覈母镩_放之初,經(jīng)濟(jì)衰敗,如何復(fù)興經(jīng)濟(jì)、重振國威成為領(lǐng)導(dǎo)人的首要任務(wù)!有識之士提出發(fā)展部分特區(qū),吸收外資,引他山活水以浚我處泉源。誰料此聲一出當(dāng)即慘遭鎮(zhèn)壓,大部分人以“親疏關(guān)系”草率否定資本主義的優(yōu)點(diǎn)。好在高瞻遠(yuǎn)矚的鄧總設(shè)計師提出改革開放、大膽吸收外資,從而使復(fù)興偉業(yè)蒸蒸日上。
、鄯堑洳《,肆虐神州,但與普通肺炎的6%~7%的死亡率比起來,非典3%-4%則小了許多,那么為何這冠狀病毒會引起如此恐慌呢?因為人們用“親疏關(guān)系”去測量非典,一致認(rèn)為“陌生”即是“恐怖”的代名詞。非典一事證明該測量的不準(zhǔn)確性。
、軓垏鴺s,這個被許多明星和影迷親切地稱為“哥哥”的人,有誰料到他會跳樓自殺呢?有誰真正了解他,認(rèn)知他呢?“親疏關(guān)系”碼這一次又測錯了!
(3)測量事物應(yīng)該四碼皆用,先放“眼觀”、“耳聽”兩碼,從外觀表像入手,再放“親疏關(guān)系”碼,最后別忘了最重要的“心品”碼!唯有知其心才能識其人,F(xiàn)舉例說明:
、夙n國前任總統(tǒng)金大中兢兢業(yè)業(yè),其二子卻貪財受賄。金大中經(jīng)過認(rèn)真測量,將其子送上法庭,受到國人尊敬,傳為美談。
、趯⒛_測量的結(jié)果填于此
(4)本產(chǎn)品隨測量的正確率的提高而提升精確度!
(5)使用年限:從出生至死亡。
簡評:作者思維活躍,采用變異的說明文形式表現(xiàn)深刻的主題,的確別具新意。形式的新穎使文章在結(jié)構(gòu)安排、內(nèi)容的選擇上有了廣闊的空間,借助說明書的外衣,巧妙地談?wù)摿宋覀冊谡J(rèn)識事物和處理問題的時候,如果只重視親疏關(guān)系,必然導(dǎo)致認(rèn)識的不準(zhǔn)確,語言詼諧幽默!
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