27.(2009陜西卷理)(本小題滿分12分)
已知雙曲線C的方程為,離心率,頂點(diǎn)到漸近線的距離為。
(I)求雙曲線C的方程;
(II)如圖,P是雙曲線C上一點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,求面積的取值范圍!
26.(2009陜西卷文)(本小題滿分12分)
已知雙曲線C的方程為,離心率,頂點(diǎn)到漸近線的距離為。21世紀(jì)教育網(wǎng)
(I) 求雙曲線C的方程;
(II)如圖,P是雙曲線C上一點(diǎn),A,B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限,若,求面積的取值范圍。
解析:
解法1(Ⅰ)由題意知,雙曲線C的頂點(diǎn)(0,a)到漸近線,
所以所以
由
所以曲線的方程是
(Ⅱ)由(Ⅰ)知雙曲線C的兩條漸近線方程為
設(shè)
由
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入
因?yàn)?sub>
又
所以
記
則
由
又S(1)=2,
當(dāng)時(shí),面積取到最小值,當(dāng)當(dāng)時(shí),面積取到最大值
所以面積范圍是
解答2(Ⅰ)由題意知,雙曲線C的頂點(diǎn)(0,a)到漸近線,
由
所以曲線的方程是.
(Ⅱ)設(shè)直線AB的方程為
由題意知
由
由
將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入得
設(shè)Q為直線AB與y軸的交點(diǎn),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,m)
=
以下同解答1
25.(2009寧夏海南卷理)(本小題滿分12分)
已知橢圓C的中心為直角坐標(biāo)系xOy的原點(diǎn),焦點(diǎn)在s軸上,它的一個(gè)頂點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離分別是7和1.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)若P為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn),=λ,求點(diǎn)M的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線。
解:(Ⅰ)設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)及半焦距分別為,由已知得
,
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(Ⅱ)設(shè),其中。由已知及點(diǎn)在橢圓上可得
。
整理得,其中。
(i)時(shí)。化簡(jiǎn)得
所以點(diǎn)的軌跡方程為,軌跡是兩條平行于軸的線段。
(ii)時(shí),方程變形為,其中
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在軸上的雙曲線滿足的部分。
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓滿足的部分;
當(dāng)時(shí),點(diǎn)的軌跡為中心在原點(diǎn)、長(zhǎng)軸在軸上的橢圓;
24.(2009遼寧卷理)(本小題滿分12分)
已知,橢圓C過點(diǎn)A,兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0),(1,0)。
(3) 求橢圓C的方程;
(4) E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值。
(20)解:
(Ⅰ)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為,解得,(舍去)
所以橢圓方程為! ……………4分
(Ⅱ)設(shè)直線AE方程為:,代入得
設(shè),,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上,所以
………8分
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以-K代K,可得
所以直線EF的斜率
即直線EF的斜率為定值,其值為! ……12分
23.(2009遼寧卷文)(本小題滿分12分)
已知,橢圓C以過點(diǎn)A(1,),兩個(gè)焦點(diǎn)為(-1,0)(1,0)。
(1) 求橢圓C的方程;
(2) E,F是橢圓C上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數(shù),證明直線EF的斜率為定值,并求出這個(gè)定值。
(22)解:(Ⅰ)由題意,c=1,可設(shè)橢圓方程為。
因?yàn)锳在橢圓上,所以,解得=3,=(舍去)。
所以橢圓方程為 . 。4分
(Ⅱ)設(shè)直線AE方程:得,代入得
設(shè)E(,),F(xiàn)(,).因?yàn)辄c(diǎn)A(1,)在橢圓上,所以
,
! 。8分
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù),在上式中以代,可得
,
。
所以直線EF的斜率。
即直線EF的斜率為定值,其值為。 .......12分
19.[解析]
解法一:
(Ⅰ)當(dāng)曲線C為半圓時(shí),如圖,由點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn)得∠BOT=60°或120°.
(1)當(dāng)∠BOT=60°時(shí), ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
(2)當(dāng)∠BOT=120°時(shí),同理可求得點(diǎn)S的坐標(biāo)為,綜上,
(Ⅱ)假設(shè)存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.
由于點(diǎn)M在以SB為直線的圓上,故.
顯然,直線AS的斜率k存在且k>0,可設(shè)直線AS的方程為.
由
設(shè)點(diǎn)
故,從而.
亦即
由得
由,可得即
經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí),O,M,S三點(diǎn)共線. 故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.
解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假設(shè)存在a,使得O,M,S三點(diǎn)共線.
由于點(diǎn)M在以SO為直徑的圓上,故.
顯然,直線AS的斜率k存在且K>0,可設(shè)直線AS的方程為
由
設(shè)點(diǎn),則有
故
由所直線SM的方程為
O,S,M三點(diǎn)共線當(dāng)且僅當(dāng)O在直線SM上,即.
故存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線.
22.(2009福建卷理)(本小題滿分13分)
已知A,B 分別為曲線C: +=1(y0,a>0)與x軸
的左、右兩個(gè)交點(diǎn),直線過點(diǎn)B,且與軸垂直,S為上
異于點(diǎn)B的一點(diǎn),連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.
(1)若曲線C為半圓,點(diǎn)T為圓弧的三等分點(diǎn),試求出點(diǎn)S的坐標(biāo);
(II)如圖,點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn),試問:是否存在,使得O,M,S三點(diǎn)共線?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由。
21.(2009湖南卷文)(本小題滿分13分)
已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)
為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形(記為Q).
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)P是橢圓C的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn),過點(diǎn)P的直線與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)線段MN的中點(diǎn)落在正方形Q內(nèi)(包括邊界)時(shí),求直線的斜率的取值范圍。
解: (Ⅰ)依題意,設(shè)橢圓C的方程為焦距為,
由題設(shè)條件知, 所以
故橢圓C的方程為 .
(Ⅱ)橢圓C的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)P的坐標(biāo),
顯然直線的斜率存在,所以直線的方程為!
如圖,設(shè)點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為線段MN的中點(diǎn)為G,
由得. ……①
由解得. ……②
因?yàn)?sub>是方程①的兩根,所以,于是
=, .
因?yàn)?sub>,所以點(diǎn)G不可能在軸的右邊,
又直線,方程分別為
所以點(diǎn)在正方形內(nèi)(包括邊界)的充要條件為
即 亦即
解得,此時(shí)②也成立. 21世紀(jì)教育網(wǎng)
故直線斜率的取值范圍是
20.(2009全國(guó)卷Ⅱ理)(本小題滿分12分)
已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)F的直線與相交于、兩點(diǎn),當(dāng)的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
(I)求,的值;
(II)上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)繞F轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?
若存在,求出所有的P的坐標(biāo)與的方程;若不存在,說明理由。
解:(I)設(shè),直線,由坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為
則,解得 .又.
(II)由(I)知橢圓的方程為.設(shè)、
由題意知的斜率為一定不為0,故不妨設(shè)
代入橢圓的方程中整理得,顯然。
由韋達(dá)定理有:........①
.假設(shè)存在點(diǎn)P,使成立,則其充要條件為:
點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,即。
整理得。
又在橢圓上,即.
故................................②
將及①代入②解得
,=,即.
當(dāng);
當(dāng).
評(píng)析:處理解析幾何題,學(xué)生主要是在“算”上的功夫不夠。所謂“算”,主要講的是算理和算法。算法是解決問題采用的計(jì)算的方法,而算理是采用這種算法的依據(jù)和原因,一個(gè)是表,一個(gè)是里,一個(gè)是現(xiàn)象,一個(gè)是本質(zhì)。有時(shí)候算理和算法并不是截然區(qū)分的。例如:三角形的面積是用底乘高的一半還是用兩邊與夾角的正弦的一半,還是分割成幾部分來算?在具體處理的時(shí)候,要根據(jù)具體問題及題意邊做邊調(diào)整,尋找合適的突破口和切入點(diǎn)。
19.(2009四川卷文)(本小題滿分12分)
已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,離心率,右準(zhǔn)線方程為。
(I)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(II)過點(diǎn)的直線與該橢圓交于兩點(diǎn),且,求直線的方程。
[解析](I)由已知得,解得
∴
∴ 所求橢圓的方程為 …………………………………4分
(II)由(I)得、
①若直線的斜率不存在,則直線的方程為,由得
設(shè)、,
∴ ,這與已知相矛盾。
②若直線的斜率存在,設(shè)直線直線的斜率為,則直線的方程為,
設(shè)、,
聯(lián)立,消元得
∴ ,
∴ , 21世紀(jì)教育網(wǎng)
又∵
∴
∴
化簡(jiǎn)得
解得
∴
∴ 所求直線的方程為 …………………………………12分
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