【題目】如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若點(diǎn)在棱上，且二面角為，求與平面所成角的正弦值．

【題目】已知中，邊，，令，，，過(guò)邊上一點(diǎn)（異于端點(diǎn)）引邊的垂線，垂足為，再由引邊的垂線，垂足為，又由引邊的垂線，垂足為，同樣的操作連續(xù)進(jìn)行，得到點(diǎn)列、、，設(shè)（）；

（1）求；

（2）結(jié)論“”是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若對(duì)于任意，不等式恒成立，求的取值范圍；

【題目】如圖，三棱柱的側(cè)面是平行四邊形，，平面平面，且分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題目】在平行四邊形中，過(guò)點(diǎn)C的直線與線段、分別相交于點(diǎn)M、N，若，；

（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

（2）定義函數(shù)（），點(diǎn)列（，）在函數(shù)的圖像上，且數(shù)列是以1為首項(xiàng)，0.5為公比的等比數(shù)列，O為原點(diǎn)，令，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；

（3）設(shè)函數(shù)為上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，又函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)方程在（）上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

【題目】設(shè)為的內(nèi)心，三邊長(zhǎng)，點(diǎn)在邊上，且，若直線交直線于點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)為______.

【題目】如圖，四邊形是正方形， 平面， ， ， ， ， 分別為， ， 的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成銳二面角的大小；

（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線與直線所成的角為？若存在，求出線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題目】如圖，在四棱錐中，為中點(diǎn)，側(cè)棱，底面為直角梯形，其中，，平面，、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，求到平面的距離；

（3）在（2）的條件下求與平面所成角.

【題目】如圖1，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過(guò)正四棱錐的頂點(diǎn)P．如果將容器倒置，水面也恰好過(guò)點(diǎn)（圖2）．有下列四個(gè)命題：

其中真命題的代號(hào)是： （寫出所有真命題的代號(hào)）．

【題目】判斷下列四個(gè)命題：①直線在平面內(nèi)，又在平面內(nèi)，則、重合；②直線、相交，直線、相交，直線、相交，則直線、、共面；③線、共面，直線、共面，則直線、也共面；④線不在平面內(nèi)，則直線與平面內(nèi)任何一點(diǎn)都可唯一確定一個(gè)平面；其中假命題是______.（寫出所有假命題的序號(hào)）

【題目】某年數(shù)學(xué)競(jìng)賽邀請(qǐng)了一位來(lái)自星球的選手參加填空題比賽，共10道題目，這位選手做題有一個(gè)古怪的習(xí)慣：先從最后一題（第10題）開(kāi)始往前看，凡是遇到會(huì)的題目就作答，遇到不會(huì)的題目先跳過(guò)（允許跳過(guò)所有的題目），一直看到第1題，然后從第1題開(kāi)始往后看，凡是遇到先前未答的題目就隨便寫個(gè)答案，遇到先前已答得題目則跳過(guò)（例如，他可以按照9、8、7、4、3、2、1、5、6、10的次序答題），這樣所有題目均有作答，則這位選手可能的答題次序有______種.