4. (2005江西)已知實(shí)數(shù)a、b滿足等式下列五個(gè)關(guān)系式：

①0<b<a　 ②a<b<0　 ③0<a<b　 ④b<a<0　 ⑤a=b

其中不可能成立的關(guān)系式有　　　　　　　　　　 (　 )

A．1個(gè)　　　　　　　　　　 B．2個(gè)　　　　　　　　　　 C．3個(gè)　　　　　　　　　　 D．4個(gè)

[填空題]

3.(2005天津)已知＜＜ ，則　 (　 )

A．2^b＞2^a＞2^c B．2^a＞2^b＞2^c 　　C．2^c＞2^b＞2^a　 　　D．2^c＞2^a＞2^b

2.已知a＞b＞c＞0，若P=，Q=，則　 (　 )

A.P≥Q　　　　　　　　 B.P≤Q　　　　　　　　 C.P＞Q　　　　　　　　 D.P＜Q

1. 若＜＜0，則下列結(jié)論不正確的是　 (　 )

A.a²＜b²　　　　　　　　　　　　　　　 B.ab＜b²

C.+＞2　　　　　　　　　　　　 D.|a|+|b|＞|a+b|

2．總結(jié)所學(xué)不等式證明的方法：

同步練習(xí)　　　　　 　6.4不等式的證明II

[選擇題]

1．高考中一般不出現(xiàn)單一的不等式的證明題，常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起，所以，除掌握常用的三種方法外，還需了解其他方法，如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等.

[例1]已知a，b∈R，且a+b=1　

求證：　

證法一：比較法，作差消b,化為a的二次函數(shù)。　　

也可用分析法、綜合法，反證法，實(shí)質(zhì)與比較法相同。

證法二：(放縮法)∵

　 ∴左邊＝

＝右邊

證法三：(均值換元法)∵，

所以可設(shè)，，

∴左邊＝

＝右邊

當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)，等號(hào)成立

　 點(diǎn)評(píng)：形如a+b=1結(jié)構(gòu)式的條件，一般可以采用均值換元

證法四：(判別式法)

設(shè)y=(a+2)²+(b+2)²，

由a+b=1，有，

所以，

因?yàn)?sub>，所以，即

故

◆溫馨提示:注意體驗(yàn)不等式證明方法的靈活性和各種證明方法間的內(nèi)在聯(lián)系.

[例2](1)設(shè)，且，求證： ；

　　 (2)設(shè)，且，求證：

[證明] (1)設(shè)

則 ，

=。

(2)設(shè)，

∵，∴ �！　�

于是。

[例3]已知a＞1，n≥2，n∈N^*.

求證：－1＜.

證法一：要證－1＜，

即證a＜(+1)ⁿ.

令a－1=t＞0，則a=t+1.

也就是證t+1＜(1+)ⁿ.

∵(1+)ⁿ=1+C+…+C()ⁿ＞1+t，

即－1＜成立.

證法二：設(shè)a=xⁿ，x＞1.

于是只要證＞x－1，

即證＞n.聯(lián)想到等比數(shù)列前n項(xiàng)和

=1+x+…+x^n-1>n.　　

∴＞n.

[例4]已知

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；　　　　　

(2)求證：x>y>0,有f(x+y)<f(x)+f(y);

(3)若求證：

解: (1) 對(duì) 已 知 函 數(shù) 進(jìn) 行 降 次 分 項(xiàng) 變 形　 , 得 ,

(2)∵

∴

而

另法:

⑶　　

∴　　　　

點(diǎn)評(píng)：函 數(shù) 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識(shí) 又 考 能 力 的 好 題　 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓(xùn) 練 價(jià) 值.

[研討.欣賞]數(shù)列{a_n}滿足a₁=1且a_n+1= (n≥1)

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明：a_n≥2(n≥2)；

(2)已知不等式ln(1+x)＜x對(duì)x＞0成立，證明：a_n＜e²(n≥1)，其中無(wú)理數(shù)e=2.71828…．

證明:(1)①當(dāng)n=2時(shí)，a₂=2≥2，不等式成立．

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立，即a_k≥2(k≥2)，

那么a_k+1=≥2．這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)不等式成立．

根據(jù)①、②可知：a_k≥2對(duì)所有n≥2成立．

(2)由遞推公式及(1)的結(jié)論有

a_n+1=≤，(n≥1)

兩邊取對(duì)數(shù)并利用已知不等式得

lna_n+1≤ln+lna_n≤lna_n+．

故lna_n+1－lna_n≤，(n≥1)．

上式從1到n－1求和可得

lna_n－lna₁≤++…++++…+

=1－++…=1－+1＜2，

即lna_n＜2，故a_n＜e² (n≥1)．

5.a＞b＞c，(+)(a－c)=(+)［(a－b)+(b－c)］

≥4. ∴+≥＞.答案：＞;　　　 6. S<1

4. a_n+1=≥==b_n+1.答案：a_n+1≥b_n+1

6.記S=，則S與1的大小關(guān)系是_________

簡(jiǎn)答:1-3.BAA;　 3.當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，a＜2－，2－為增函數(shù)，

∴a＜2－=.　 當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，－a＜2+，a＞－2－.

而－2－為增函數(shù)，－2－＜－2，∴a≥－2.故a∈［－2，)答案：A