1、橢圓的定義1： ，F(xiàn)，F(xiàn)為兩定點(diǎn)即焦點(diǎn)。定義2：

(二)求曲線方程(求軌跡)的幾種常用方法：

1、直接法：直接用動(dòng)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)表示等量關(guān)系，化簡(jiǎn)得軌跡方程。一般步驟是：①建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果題中出現(xiàn)了點(diǎn)的坐標(biāo)或方程表示已經(jīng)建立了坐標(biāo)系。②列出點(diǎn)　 M適合條件的幾何等量關(guān)系；③用坐標(biāo)表示列出方程f(x,y)=0，④化方程f(x,y)=0為最簡(jiǎn)形式；⑤證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)。一般情況下，化簡(jiǎn)前后的方程的解是相同的，步驟⑤可以省略不寫，如有特殊情況，可適當(dāng)予以說(shuō)明，另外，根據(jù)情況，也可以省略步驟②直接列出直線方程。

例1：三角形ABC的頂點(diǎn)A固定，點(diǎn)A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)為2a,邊BC上的高線長(zhǎng)為b，邊BC沿一條定直線移動(dòng)，求三角形ABC外心的軌跡方程。

分析：以BC邊所在的直線為x軸，過(guò)A點(diǎn)且與x軸垂直的直線為y軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則B(0，b)，設(shè)外心M(x,y)，則|MA|＝|MB|，B(x-a,0),x-2by+b-a=0

2、　 定義法：通過(guò)圓錐曲線(或已知曲線)定義確定軌跡性質(zhì)，進(jìn)而求得方程。

例2、(1)由動(dòng)點(diǎn)P向圓作兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=60⁰，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為　　　 　　　　　　

(2)點(diǎn)M與點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點(diǎn)M的軌跡方程是_____

　(3) 一動(dòng)圓與兩圓⊙M：和⊙N：都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為　　　 。雙曲線的左支上。注：都內(nèi)切時(shí)，得到該雙曲線的右支。若與前者內(nèi)切，與后者外切時(shí)，得到雙曲線的左支，若與前者外切，與后者內(nèi)切時(shí)，得到雙曲線的右支，

(4)、

3、相關(guān)點(diǎn)代入法：當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x，y)與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)P₁(x₁，y₁)相關(guān)時(shí)，用x，y表示x₁，y₁，再代入已知曲線方程，求得軌跡方程。

例3：(1)動(dòng)點(diǎn)P是拋物線上任一點(diǎn)，定點(diǎn)為,點(diǎn)M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_(kāi)_________

(1)　　　 若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)的軌跡方程是____

例4、設(shè)O為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，已知定點(diǎn)A(3,0)，動(dòng)點(diǎn)B在曲線x+y=1上運(yùn)動(dòng)，∠AOB的平分線交AB于點(diǎn)M，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

分析：當(dāng)軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)難以直接建立關(guān)系時(shí)，且已知軌跡上的點(diǎn)的坐標(biāo)受已知曲線上的某一動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)的影響，可用相關(guān)點(diǎn)代入法。本題可用角平分線定理和相關(guān)點(diǎn)代入法。

(4x-3)+16y=9

4、交軌法：已知所求曲線是某兩條曲線的交點(diǎn)可通過(guò)解方程組而得。(常與參數(shù)法相結(jié)合。)

例5、已知直線L1過(guò)A(－2,0)，直線L2過(guò)B(2,0)，且L1與L2分別繞A，B旋轉(zhuǎn)，它們?cè)趛軸上截距分別為，其中，試求L1與L2交點(diǎn)的軌跡方程。

5、參數(shù)法。先選定某個(gè)變量作為參數(shù)，再找出曲線上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)與參數(shù)的關(guān)系式，然后再消去參數(shù)。

例6、已知常數(shù)，在矩形ABCD中，，，O為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F、G分別在BC、CD、DA上移動(dòng)，且，P為GE與OF的交點(diǎn)(如圖)，問(wèn)是否存在兩個(gè)定點(diǎn)，使P到這兩點(diǎn)的距離的和為定值？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)及此定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點(diǎn)P坐標(biāo)滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在的兩定點(diǎn)，使得點(diǎn)P到兩點(diǎn)距離的和為定值.按題意有A(－2，0)，B(2，0)，C(2，4a)，D(－2，4a)設(shè)

由此有E(2，4ak)，F(xiàn)(2－4k，4a)，G(－2，4a－4ak)

直線OF的方程為：①

直線GE的方程為：②

從①，②消去參數(shù)k，得點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)滿足方程

整理得 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點(diǎn).

　　 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P軌跡為橢圓的一部分，點(diǎn)P到該橢圓焦點(diǎn)的距離的和為定長(zhǎng)

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(的距離之和為定值

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P 到橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)(0， 的距離之和為定值2.

本題是交軌法與參數(shù)法的例子。

例7、(本例是情侶圓錐曲線的求法)

本題是相關(guān)點(diǎn)代入法和交軌法相結(jié)合。

6、待定系數(shù)法：已知曲線方程的類型，可先設(shè)出曲線方程的形式，然后求出有關(guān)的系數(shù)。

例8、

(一)曲線與方程的概念：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0上的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：(1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)；那么，這個(gè)方程叫曲線的方程；這條曲線叫方程的曲線。

練習(xí)：(1)

4、全稱量詞：“所有的”“任意一個(gè)”“一切”“每一個(gè)”“任給”等。常用“”表示。含有全稱量詞的命題叫全稱命題。

存在量詞：“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”“有些”“有一個(gè)”“有的” “對(duì)某個(gè)”等。常用“”表示。含有存在量詞的命題叫特稱命題。

練習(xí)：寫出下列命題的否定：(1)p：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)。

(2)p：

第十九講圓錐曲線與方程

3、復(fù)合命題的三種基本形式及真假判定：P或Q(P∨Q)，P且Q(P∧)，非P(﹁P)。

“P與﹁P”中的一些常用對(duì)應(yīng)詞

2、如果已知pq,則有四種說(shuō)法：(1)p是q的充分條件，(2)q是p的必要條件，(3)p的一個(gè)必要條件是q,(4)q的一個(gè)充分條件是P。

練習(xí)：(1)若ØP是ØQ的必要不充分條件，則P是Q的(A)

A　充分而不必要條件，B　必要不充分條件，C　充要條件，D　既不充分與必要條件

(2)“或”是“”成立的　　　　　 條件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一個(gè))．

1、四種命題：一般地，用p和q分別表示原命題的條件和結(jié)論，用﹁p或﹁q分別表示p和q的否定，則四種命題的形式是：(1)原命題：若p則q，(2)逆命題：若q則p，(3)否命題：若﹁p 則﹁q ，(4)逆否命題：若﹁q 則﹁p，

四種命題的真假關(guān)系：一個(gè)命題與它的逆否命題是等價(jià)的，其逆命題與它的否命題也是等價(jià)的。要注意區(qū)別“否命題”與“命題的否定”：若原命題是“若P則Q”，則這個(gè)命題的否定是“若P則非Q”，而它的否命題是“若非P則非Q”。但對(duì)于“全稱命題”與“特稱命題”是互為否定的。

3、線性規(guī)劃中的幾個(gè)幾何意義：

第十八講常用的邏輯用語(yǔ)

2、設(shè)點(diǎn)P(x,y),Q(x,y)，若Ax+By+C與Ax+By+C同號(hào)則P，Q在直線l的同側(cè)，異號(hào)則在直線l的異側(cè)。

(二)恒成立問(wèn)題：解恒成立問(wèn)題常用方法：①分離參數(shù)法；②數(shù)形結(jié)合；③轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題。你能清楚何時(shí)用何種方法嗎？

常見(jiàn)題型：①若在上恒成立，則；若在上恒成立，則。②若在上有解，則；若在上無(wú)解，則。(注：為常數(shù)。)③在上恒成立，是對(duì)于任意的，必須大于嗎？應(yīng)該怎樣解？(不是。通常移項(xiàng)，使即可；若的最值無(wú)法求出，則考慮數(shù)形結(jié)合，只需在上的圖像始終在的上方即可。)

(1)一次函數(shù)型：給定一次函數(shù)y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]內(nèi)恒有f(x)>0，則根據(jù)函數(shù)的圖象(直線)可得上述結(jié)論等價(jià)于

ⅰ)或ⅱ)亦可合并定成

同理，若在[m,n]內(nèi)恒有f(x)<0，則有

(2)二次函數(shù)型：若二次函數(shù)y=ax²+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立，則有

若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問(wèn)題，還可以利用韋達(dá)定理以及根與系數(shù)的分布知識(shí)求解。

例1、　　 設(shè)f(x)=x²-2ax+2,當(dāng)x[-1,+)時(shí)，都有f(x)a恒成立，求a的取值范圍。

分析：題目中要證明f(x)a恒成立，若把a(bǔ)移到等號(hào)的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間[-1,+)時(shí)恒大于0的問(wèn)題。

法一：解：設(shè)F(x)= f(x)-a=x²-2ax+2-a.

ⅰ)當(dāng)=4(a-1)(a+2)<0時(shí)，即-2<a<1時(shí)，對(duì)一切x[-1,+)，F(xiàn)(x) 0恒成立；

ⅱ)當(dāng)=4(a-1)(a+2) 0時(shí)由圖可得以下充要條件：

即

得-3a-2;

綜合可得a的取值范圍為[-3，1]。

法二：化為求F(x)= f(x)-a=x²-2ax+2-a.在x[-1,+)上的最小值大于等于0。再對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行討論。

法三：分離參數(shù)法：再對(duì)參數(shù)分類討論：

(3)分離變量型：若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，其中一個(gè)變量的范圍已知，另一個(gè)變量的范圍為所求，且容易通過(guò)恒等變形將兩個(gè)變量分別置于等號(hào)或不等號(hào)的兩邊，則可將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問(wèn)題求解。

例2、　　　 已知當(dāng)xR時(shí)，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

分析：在不等式中含有兩個(gè)變量a及x，其中x的范圍已知(xR)，另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。