首先應(yīng)特別提醒注意的是，機械能守恒的條件絕不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飛來的子彈打入靜止在光滑水平面上的木塊內(nèi)的過程中，合外力的功及合外力都是零，但系統(tǒng)在克服內(nèi)部阻力做功，將部分機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，因而機械能的總量在減少．

(1)用做功來判斷：分析物體或物體受力情況(包括內(nèi)力和外力)，明確各力做功的情況，若對物體或系統(tǒng)只有重力或彈力做功，沒有其他力做功或其他力做功的代數(shù)和為零，則機械能守恒；

(2)用能量轉(zhuǎn)化來判定：若物體系中只有動能和勢能的相互轉(zhuǎn)化而無機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，則物體系機械能守恒．

(3)對一些繩子突然繃緊，物體間非彈性碰撞等除非題目的特別說明，機械能必定不守恒，完全非彈性碰撞過程機械能不守恒

說明：1．條件中的重力與彈力做功是指系統(tǒng)內(nèi)重力彈力做功．對于某個物體系統(tǒng)包括外力和內(nèi)力，只有重力或彈簧的彈力作功，其他力不做功或者其他力的功的代數(shù)和等于零，則該系統(tǒng)的機械能守恒，也就是說重力做功或彈力做功不能引起機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，只能使系統(tǒng)內(nèi)的動能和勢能相互轉(zhuǎn)化．如圖5－50所示，光滑水平面上，A與L₁、L₂二彈簧相連，B與彈簧L₂相連，外力向左推B使L₁、L₂ 被壓縮，當(dāng)撤去外力后，A、L₂、B這個系統(tǒng)機械能不守恒，因為L_I對A的彈力是這個系統(tǒng)外的彈力，所以A、L₂、B這個系統(tǒng)機械能不守恒．但對L_I、A、L₂、B這個系統(tǒng)機械能就守恒，因為此時L₁對A的彈力做功屬系統(tǒng)內(nèi)部彈力做功．

　2．只有系統(tǒng)內(nèi)部重力彈力做功，其它力都不做功，這里其它力合外力不為零，只要不做功，機械能仍守恒，即對于物體系統(tǒng)只有動能與勢能的相互轉(zhuǎn)化，而無機械能與其他形式轉(zhuǎn)化(如系統(tǒng)無滑動摩擦和介質(zhì)阻力，無電磁感應(yīng)過程等等)，則系統(tǒng)的機械能守恒，如圖5－51所示光滑水平面上A與彈簧相連，當(dāng)彈簧被壓縮后撤去外力彈開的過程，B相對A沒有發(fā)生相對滑動，A、B之間有相互作用的力，但對彈簧A、B物體組成的系統(tǒng)機械能守恒．

3．當(dāng)除了系統(tǒng)內(nèi)重力彈力以外的力做了功，但做功的代數(shù)和為零，但系統(tǒng)的機械能不一定守恒．如圖5-52所示，物體m在速度為v₀時受到外力F作用，經(jīng)時間t速度變?yōu)関_t．(v_t＞v₀)撤去外力，由于摩擦力的作用經(jīng)時間t^/速度大小又為v₀，這一過程中外力做功代數(shù)和為零，但是物體m的機械能不守恒。

[例2]對一個系統(tǒng)，下面說法正確的是(　　 )

　　 A．受到合外力為零時，系統(tǒng)機械能守恒

　　 B．系統(tǒng)受到除重力彈力以外的力做功為零時，系統(tǒng)的機械能守恒

　　 C．只有系統(tǒng)內(nèi)部的重力彈力做功時，系統(tǒng)的機械能守恒

　　 D．除重力彈力以外的力只要對系統(tǒng)作用，則系統(tǒng)的機械能就不守恒

　　 解析：A，系統(tǒng)受到合外力為零時，系統(tǒng)動量守恒，但機械能就不一定守恒，　 　答案：C

[例3]如圖所示，在光滑的水平面上放一質(zhì)量為M＝96．4kg的木箱，用細(xì)繩跨過定滑輪O與一質(zhì)量為m=10kg的重物相連，已知木箱到定滑輪的繩長AO＝8m，OA繩與水平方向成30⁰角，重物距地面高度h=3m，開始時讓它們處于靜止?fàn)顟B(tài)．不計繩的質(zhì)量及一切摩擦，g取10 m／s²，將重物無初速度釋放，當(dāng)它落地的瞬間木箱的速度多大？

解析：本題中重物m和水箱M動能均來源于重物的重力勢能，只是m和M的速率不等．

根據(jù)題意，m，M和地球組成的系統(tǒng)機械能守恒，選取水平面為零勢能面，有mgh＝½mv+½Mv

從題中可知，O距M之間的距離為　 h^/＝Oasin30⁰＝4 m

當(dāng)m落地瞬間，OA繩與水平方向夾角為α，則cosα==4/5

　而m的速度v_m等于v_M沿繩的分速度，如圖5-55所示，則有　 v_m＝v_Mcosα　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　 所以，由式①一③得v_M=m/s　　 答案：m/ s

3．表達形式：E_K1+E_pl=E_k2+E_P2

(1)我們解題時往往選擇的是與題目所述條件或所求結(jié)果相關(guān)的某兩個狀態(tài)或某幾個狀態(tài)建立方程式．此表達式中E_P是相對的．建立方程時必須選擇合適的零勢能參考面．且每一狀態(tài)的E_P都應(yīng)是對同一參考面而言的．

(2)其他表達方式，ΔE_P=一ΔE_K，系統(tǒng)重力勢能的增量等于系統(tǒng)動能的減少量．

(3)ΔE_a=一ΔE_b，將系統(tǒng)分為a、b兩部分，a部分機械能的增量等于另一部分b的機械能的減少量，

2.機械能守恒的條件

(1)對某一物體，若只有重力(或彈簧彈力)做功，其他力不做功(或其他力做功的代數(shù)和為零)，則該物體機械能守恒．

(2)對某一系統(tǒng)，物體間只有動能和重力勢能及彈性勢能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)和外界沒有發(fā)生機械能的傳遞，機械能也沒有轉(zhuǎn)變?yōu)槠渌�形式的能，則系統(tǒng)機械能守恒．

1、內(nèi)容：在只有重力(和彈簧的彈力)做功的情況下，物體的動能和勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變．

3、動能和勢能(重力勢能與彈性勢能)統(tǒng)稱為機械能．

2．重力做功與重力勢能的關(guān)系：重力做功等于重力勢能的減少量W_G=ΔE_P減=E_P初一E_P末，克服重力做功等于重力勢能的增加量W_克=ΔE_P增=E_P末-E_P初

　　 特別應(yīng)注意：重力做功只能使重力勢能與動能相互轉(zhuǎn)化，不能引起物體機械能的變化．

1．由物體間的相互作用和物體間的相對位置決定的能叫做勢能．如重力勢能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等．

(1)物體由于受到重力作用而具有重力勢能，表達式為 E_P=一mgh．式中h是物體到零重力勢能面的高度．

(2)重力勢能是物體與地球系統(tǒng)共有的．只有在零勢能參考面確定之后，物體的重力勢能才有確定的值，若物體在零勢能參考面上方高 h處其重力勢能為 E_P=一mgh，若物體在零勢能參考面下方低h處其重力勢能為 E_P=一mgh，“一”不表示方向，表示比零勢能參考面的勢能小，顯然零勢能參考面選擇的不同，同一物體在同一位置的重力勢能的多少也就不同，所以重力勢能是相對的．通常在不明確指出的情況下，都是以地面為零勢面的．但應(yīng)特別注意的是，當(dāng)物體的位置改變時，其重力勢能的變化量與零勢面如何選取無關(guān)．在實際問題中我們更會關(guān)心的是重力勢能的變化量．

[例1]如圖所示，桌面高地面高H，小球自離桌面高h(yuǎn)處由靜止落下，不計空氣阻力，則小球觸地的瞬間機械能為(設(shè)桌面為零勢面)(　　　 )

　　 A．mgh； B．mgH；C．mg(H+h)； D．mg(H－h(huán))

解析：這一過程機械能守恒，以桌面為零勢面，E_初=mgh，所以著地時也為mgh，有的學(xué)生對此接受不了，可以這樣想，E_初=mgh ，末為 E_末=½mv²－mgH，而½mv²=mg(H+h)由此兩式可得：E_末=mgh　　 答案：A

(3)彈性勢能，發(fā)生彈性形變的物體而具有的勢能．高中階段不要求具體利用公式計算彈性勢能，但往往要根據(jù)功能關(guān)系利用其他形式能量的變化來求得彈性勢能的變化或某位置的彈性勢能．

4、 動能定理的綜合應(yīng)用

動能定理和動量定理、動量守恒定律的綜合應(yīng)用是力學(xué)問題的難點，也是高考考查的重點，解決這類問題關(guān)鍵是分清哪一過程中動量守恒，哪一過程中應(yīng)用動能定理、動量定理

[例12]某地強風(fēng)的風(fēng)速約為v=20m/s,設(shè)空氣密度ρ=1.3kg/m³_,如果把通過橫截面積=20m²風(fēng)的動能全部轉(zhuǎn)化為電能,則利用上述已知量計算電功率的公式應(yīng)為P=_________,大小約為_____W(取一位有效數(shù)字)

E_k=子　　　　　　　　　 P=

[例13]兩個人要將質(zhì)量M＝1000 kg的小車沿一小型鐵軌推上長L＝5 m,高h(yuǎn)＝1 m的斜坡頂端．已知車在任何情況下所受的摩擦阻力恒為車重的0.12倍，兩人能發(fā)揮的最大推力各為800 N.水平軌道足夠長，在不允許使用別的工具的情況下，兩人能否將車剛好推到坡頂？如果能應(yīng)如何辦？(要求寫出分析和計算過程)(g取10 m/s ²)

解析:小車在軌道上運動時所受摩擦力f

　　 f＝μMg＝0.12×1000×10N=1200 N

　　 兩人的最大推力F＝2×800 N＝1600 N

F＞f,人可在水平軌道上推動小車加速運動，但小車在斜坡上時f+Mgsinθ＝1200 N+10000·1/5N＝3200 N＞F=1600 N

　　 可見兩人不可能將小車直接由靜止沿坡底推至坡頂．

　　 若兩人先讓小車在水平軌道上加速運動，再沖上斜坡減速運動，小車在水平軌道上運動最小距離為s

　　 (F一f)s十FL一fL一Mgh=0

　 答案:能將車剛好推到坡頂，先在水平面上推20 m，再推上斜坡．

試題展示

　　　　　　 機械能守恒定律

知識簡析一、機械能

3、應(yīng)用動能定理要注意的問題

注意1．由于動能的大小與參照物的選擇有關(guān)，而動能定理是從牛頓運動定律和運動學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來，因此應(yīng)用動能定理解題時，動能的大小應(yīng)選取地球或相對地球做勻速直線運動的物體作參照物來確定．

[例6]如圖所示質(zhì)量為1kg的小物塊以5m/s的初速度滑上一塊原來靜止在水平面上的木板，木板質(zhì)量為4kg，木板與水平面間動摩擦因數(shù)是0.02，經(jīng)過2S以后，木塊從木板另一端以1m/s相對于地的速度滑出，g取10m／s，求這一過程中木板的位移．

解析：設(shè)木塊與木板間摩擦力大小為f₁，木板與地面間摩擦力大小為f₂．

對木塊：一f₁t=mv_t一mv₀，得f₁=2 N

對木板：(f_l－f₂)t＝Mv,f₂＝μ(m+ M)g

得v＝0．5m/s　 對木板：(f_l－f₂)s=½Mv²，得 S=0·5 m　　 答案：0．5 m

注意2．用動能定理求變力做功，在某些問題中由于力F的大小的變化或方向變化，所以不能直接由W=Fscosα求出變力做功的值．此時可由其做功的結(jié)果--動能的變化來求變?yōu)镕所做的功．

[例7]質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動，運動過程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某一時刻小球通過軌道的最低點，此時繩子的張力為7mg,此后小球繼續(xù)做圓周運動，經(jīng)過半個圓周恰能通過最高點，則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為()

　　 A.mgR/4　 　B. mgR/3　　 C. mgR/2　　 D.mgR

解析:小球在圓周運動最低點時,設(shè)速度為v₁,則7mg－mg=mv₁₂/R……①

設(shè)小球恰能過最高點的速度為v₂,則mg=mv₂²/R……②

設(shè)設(shè)過半個圓周的過程中小球克服空氣阻力所做的功為W,由動能定理得:－mg2R－W=½mv₂²－½mv₁²……③

由以上三式解得W=mgR/2.　 答案：C

　 說明：該題中空氣阻力一般是變化的，又不知其大小關(guān)系，故只能根據(jù)動能定理求功，而應(yīng)用動能定理時初、末兩個狀態(tài)的動能又要根據(jù)圓周運動求得不能直接套用，這往往是該類題目的特點．

注意3．區(qū)別動量、動能兩個物理概念．動量、動能都是描述物體某一時刻運動狀態(tài)的狀態(tài)量，動量是矢量，動能是標(biāo)量．動量的改變必須經(jīng)過一個沖量的過程，動能的改變必須經(jīng)過一個做功的過程．動量是矢量，它的改變包括大小和方向的改變或者其中之一的改變．而動能是標(biāo)量，它的改變僅是數(shù)量的變化．動量的數(shù)量與動能的數(shù)量可以通過P²=2mE_K聯(lián)系在一起，對于同一物體來說，動能E_K變化了，動量P必然變化了，但動量變化了動能不一定變化．例如動量僅僅是方向改變了，這樣動能就不改變．對于不同的物體，還應(yīng)考慮質(zhì)量的多少．

[例8]動量大小相等的兩個物體，其質(zhì)量之比為2：3，則其動能之比為( B )

　　 A．2：3；　 B．3：2；　 C．4：9；　 D．9：4

解析：由E_k=可知，動量大小相等的物體，其動能與它們的質(zhì)量成反比，因此動能的比應(yīng)為3：2．

[例9]在水平面上沿一條直線放兩個完全相同的小物體A和B，它們相距s，在B右側(cè)距B2s處有一深坑，如圖所示，現(xiàn)對A施以瞬間沖量，使物體A沿A、B連線以速度v₀開始向B運動．為使A與B能發(fā)生碰撞，且碰撞之后又不會落入右側(cè)深坑中，物體A、B與水平面間的動摩擦因數(shù)應(yīng)滿足什么條件？設(shè)A,B碰撞時間很短，A、B碰撞后不再分離．

解析:A與B相碰，則

A和B碰前速度v₁，,

A與B碰后共同速度v₂.mv₁=2mv₂,

AB不落入坑中,　 解得

綜上，μ應(yīng)滿足條件

[例10]如圖所示，兩個完全相同的質(zhì)量為m的木板A、B置于水平地面上它們的間距s =2.88m．質(zhì)量為2m 、大小可忽略的物塊C置于A板的左端． C與A之間的動摩擦因數(shù)為μ₁=0.22， A、B與水平地面的動摩擦因數(shù)為μ₂=0.10， 最大靜摩擦力可認(rèn)為等于滑動摩擦力． 開始時， 三個物體處于靜止?fàn)顟B(tài)．現(xiàn)給C施加一個水平向右，大小為的恒力F， 假定木板A、B碰撞時間極短且碰撞后粘連在一起．要使C最終不脫離木板，每塊木板的長度至少應(yīng)為多少?

[分析]：這題重點是分析運動過程，我們必須看到A、B碰撞前A、C是相對靜止的，A、B碰撞后A、B速度相同，且作加速運動，而C的速度比A、B大，作減速運動，最終A、B、C達到相同的速度，此過程中當(dāng)C恰好從A的左端運動到B的右端的時候，兩塊木板的總長度最短。

[解答]：設(shè)l為A或B板的長度，A、C之間的滑動摩擦力大小為f₁，A與水平面的滑動摩擦力大小為f₂

　 ∵μ₁=0.22�！� μ₂=0.10

∴……①　 　　且…②

一開始A和C保持相對靜止,在F的作用下向右加速運動.有 …③

A、B兩木板的碰撞瞬間，內(nèi)力的沖量遠(yuǎn)大于外力的沖量。由動量守恒定律得mv₁=(m+m)v₂ …④

碰撞結(jié)束后到三個物體達到共同速度的相互作用過程中，設(shè)木板向前移動的位移為s₁.

選三個物體構(gòu)成的整體為研究對象，外力之和為零，則 …⑤　

設(shè)A、B系統(tǒng)與水乎地面之間的滑動摩擦力大小為f₃。對A、B系統(tǒng)，由動能定理

　… ⑥　　 …⑦

對C物體，由動能定理……… ⑧

由以上各式，再代人數(shù)據(jù)可得l=0.3(m)

注意4．動量定理與動能定理的區(qū)別，兩個定理分別描述了力對物體作用效應(yīng)，動量定理描述了為對物體作用的時間積累效應(yīng)，使物體的動量發(fā)生變化，且動量定理是矢量武；而動能定理描述了力對物體作用的空間積累效應(yīng)，使物體的動能發(fā)生變化，動能定理是標(biāo)量式。所以兩個定理分別從不同角度描述了為對物體作用的過程中，使物體狀態(tài)發(fā)生變化規(guī)律，在應(yīng)用兩個定理解決物理問題晚要根據(jù)題目要求，選擇相應(yīng)的定理求解。

[例11]如圖所示，在光滑的水平面內(nèi)有兩個滑塊A和B，其質(zhì)量m_A＝6kg，m_B=3kg，它們之間用一根輕細(xì)繩相連．開始時繩子完全松弛，兩滑塊靠在一起，現(xiàn)用了3N的水平恒力拉A，使A先起動，當(dāng)繩被瞬間繃直后，再拖動B一起運動，在A塊前進了0．75 m時，兩滑塊共同前進的速度v=2/3m／s，求連接兩滑塊的繩長．

解析：本題的關(guān)鍵在于“繩子瞬間繃直”時其張力可看成遠(yuǎn)大于外力F，所以可認(rèn)為A、B組成的系統(tǒng)動量守恒．此過程相當(dāng)于完全非彈性碰撞，系統(tǒng)的機械能有損失．

根據(jù)題意，設(shè)繩長為L，以繩子繃直前的滑塊A為對象，由動能定理得FL=½m_Av₁²①

繩繃直的瞬間，可以認(rèn)為T＞＞F，因此系統(tǒng)的動量守恒，m_Av₁＝(m_A十m_B)v₂②

對于繩繃直后，A、B組成的系統(tǒng)(看成一個整體)的共同運動過程，由動能定理

F(0．75－L)＝½(m_A十m_B )v₁²－½(m_A十m_B)v₂²……③

由式①一③解得L＝0．25m　　 答案：0．25 m

　　 恒力作用下的勻變速直線運動，凡不涉及加速度和時間的問題，利用動能定理求解一般比用牛頓定律及運動學(xué)公式求解要簡單的多．用動能定理還能解決一些在中學(xué)應(yīng)用牛頓定律難以解決的變力做功的問題、曲線運動等問題．

[例1]如圖所示，質(zhì)量為m的物體與轉(zhuǎn)臺之間的摩擦系數(shù)為μ，物體與轉(zhuǎn)軸間距離為R，物體隨轉(zhuǎn)臺由靜止開始轉(zhuǎn)動，當(dāng)轉(zhuǎn)速增加到某值時，物體開始在轉(zhuǎn)臺上滑動，此時轉(zhuǎn)臺已開始勻速轉(zhuǎn)動，這過程中摩擦力對物體做功為多少？

　 　解析：物體開始滑動時，物體與轉(zhuǎn)臺間已達到最大靜摩擦力，這里認(rèn)為就是滑動摩擦力μmg．

根據(jù)牛頓第二定律μmg=mv²/R……①　　　　　 由動能定理得：W=½mv² ……②

由①②得：W=½μmgR，所以在這一過程摩擦力做功為½μmgR

點評：(1)一些變力做功，不能用 W＝ FScosθ求，應(yīng)當(dāng)善于用動能定理．

(2)應(yīng)用動能定理解題時，在分析過程的基礎(chǔ)上無須深究物體的運動狀態(tài)過程中變化的細(xì)節(jié)，只須考慮整個過程的功量及過程始末的動能．若過程包含了幾個運動性質(zhì)不同的分過程．即可分段考慮，也可整個過程考慮．但求功時，有些力不是全過程都作用的，必須根據(jù)不同情況分別對待求出總功．計算時要把各力的功連同符號(正負(fù))一同代入公式．

[例2]一質(zhì)量為m的物體．從h高處由靜止落下，然后陷入泥土中深度為Δh后靜止，求阻力做功為多少？

　　 提示：整個過程動能增量為零，　　 則根據(jù)動能定理mg(h+Δh)－W_f＝0

　　 所以W_f＝mg(h+Δh)　　 答案：mg(h+Δh)

規(guī)律方法　 1、動能定理應(yīng)用的基本步驟

應(yīng)用動能定理涉及一個過程，兩個狀態(tài)．所謂一個過程是指做功過程，應(yīng)明確該過程各外力所做的總功；兩個狀態(tài)是指初末兩個狀態(tài)的動能．

動能定理應(yīng)用的基本步驟是：

①選取研究對象，明確并分析運動過程．

②分析受力及各力做功的情況，受哪些力？每個力是否做功？在哪段位移過程中做功？正功？負(fù)功？做多少功？求出代數(shù)和．

③明確過程始末狀態(tài)的動能E_k1及E_K2

④列方程 W=E_K2一E_k1，必要時注意分析題目的潛在條件，補充方程進行求解．

[例3]總質(zhì)量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進，其末節(jié)車廂質(zhì)量為m，中途脫節(jié)，司機發(fā)覺時，機車已行駛了L的距離，于是立即關(guān)閉油門，除去牽引力，設(shè)阻力與質(zhì)量成正比，機車的牽引力是恒定的，當(dāng)列車的兩部分都停止時，它們的距離是多少？

解析:此題用動能定理求解比用運動學(xué)結(jié)合牛頓第二定律求解簡單．先畫出草圖如圖所示，標(biāo)明各部分運動位移(要重視畫草圖)；對車頭，脫鉤前后的全過程，根據(jù)動能定理便可解得.

FL－μ(M－m)gS₁=－½(M－m)v₀²

對末節(jié)車廂，根據(jù)動能定理有一μmgs₂＝－½mv₀²

而ΔS=S₁一S₂

由于原來列車勻速運動，所以F=μMg．

以上方程聯(lián)立解得ΔS=ML/ (M一m)．

說明:對有關(guān)兩個或兩個以上的有相互作用、有相對運動的物體的動力學(xué)問題,應(yīng)用動能定理求解會很方便．最基本方法是對每個物體分別應(yīng)用動能定理列方程，再尋找兩物體在受力、運動上的聯(lián)系，列出方程解方程組．

2、應(yīng)用動能定理的優(yōu)越性

(1)由于動能定理反映的是物體兩個狀態(tài)的動能變化與其合力所做功的量值關(guān)系，所以對由初始狀態(tài)到終止?fàn)顟B(tài)這一過程中物體運動性質(zhì)、運動軌跡、做功的力是恒力還是變力等諸多問題不必加以追究，就是說應(yīng)用動能定理不受這些問題的限制．

(2)一般來說，用牛頓第二定律和運動學(xué)知識求解的問題，用動能定理也可以求解，而且往往用動能定理求解簡捷．可是，有些用動能定理能夠求解的問題，應(yīng)用牛頓第二定律和運動學(xué)知識卻無法求解．可以說，熟練地應(yīng)用動能定理求解問題，是一種高層次的思維和方法，應(yīng)該增強用動能定理解題的主動意識．

(3)用動能定理可求變力所做的功．在某些問題中，由于力F的大小、方向的變化，不能直接用W=Fscosα求出變力做功的值，但可由動能定理求解．

[例4]如圖所示，質(zhì)量為m的物體用細(xì)繩經(jīng)過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某個值F時，轉(zhuǎn)動半徑為R，當(dāng)拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功的大小是:

解析:設(shè)當(dāng)繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v₁，則有F=mv₁²/R……①

當(dāng)繩的拉力減為F/4時，小球做勻速圓周運動的線速度為v₂,則有F/4=mv₂²/2R……②

在繩的拉力由F減為F/4的過程中，繩的拉力所做的功為W=½mv₂²－½mv₁²=－¼FR

所以，繩的拉力所做的功的大小為FR/4,A選項正確．

說明:用動能定理求變力功是非常有效且普遍適用的方法．

[例5]質(zhì)量為m的飛機以水平v₀飛離跑道后逐漸上升,若飛機在此過程中水平速度保持不變,同時受到重力和豎直向上的恒定升力(該升力由其他力的合力提供,不含重力).今測得當(dāng)飛機在水平方向的位移為L時,它的上升高度為h,求(1)飛機受到的升力大小?(2)從起飛到上升至h高度的過程中升力所做的功及在高度h處飛機的動能?

解析(1)飛機水平速度不變,L= v₀t,豎直方向的加速度恒定,h=½at²,消去t即得

由牛頓第二定律得:F=mg+ma=

(2)升力做功W=Fh=

在h處,v_t=at=,