如圖1，在矩形ABCD中，AB=2BC，點M在邊CD上，點F在邊AB上，且DF⊥AM，垂足為E，若將△ADM沿AM折起，使點D位于D′位置，連接D′B，D′C得如圖2四棱錐D′-ABCM．
（1）求證：平面D′EF⊥平面AMCB；
（2）若∠D′EF=

π

3

，直線D′F與平面ABCM所成角的大小為

π

3

，求直線AD′與平面ABCM所成角的正弦值．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E為PD的中點．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角E-AC-D的余弦值；
（Ⅲ）在線段AB上是否存在一點F（不與A，B兩點重合），使得AE∥平面PCF？若存在，求出AF的長；若不存在，請說明理由．

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，且PA=AB=BC=

1

2

CD，EB=

1

2

PE．
（1）求證：PD∥平面AEC．
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

如圖，在四面體A-BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD=2，BD=2

2

．M是AD的中點．
（1）證明：平面ABC⊥平面ADC；
（2）若∠BDC=60°，求二面角C-BM-D的大�。�

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD．底面ABCD為梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC=3，點E在棱PB上，且PE=2EB．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求證：PD∥平面EAC；
（Ⅲ）求平面AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值．

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F（4，0）、與y軸正半軸交于點E（0，4），邊長為4的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合；
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q．設(shè)點A的坐標(biāo)為（m，n）
①當(dāng)PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標(biāo)及PF所在直線l的函數(shù)解析式；
②當(dāng)n=2時，若P為AB邊中點，請求出m的值；
（3）若點B在第（2）①中的PF所在直線l上運動，且正方形ABCD與拋物線有兩個交點，請直接寫出m的取值范圍．

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．
（1）若

CE

EP

=

3

2

，求證：EF∥平面PAB；
（2）若FE⊥PC，求二面角E-DB-C的平面角的余弦值．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過點T(

2

，-

6

2

)，其離心率為

1

2

，右頂點為A，右焦點為F（c，0），直線x=

a2

c

與x軸交于B，過點F的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，點P為點M關(guān)于直線x=

a2

c

的對稱點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）求證：N、B、P三點共線；
（3）求△BNM的面積的最大值．

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．
（1）若點E在SD上，且AE⊥SD，證明：AE⊥平面SDC；
（2）若三棱錐S-ABC的體積V_S-ABC=

1

6

，求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值大�。�

求下列動圓圓心M的軌跡方程：
（1）與圓C：（x+2﹚²+y²=2內(nèi)切，且過點A（2，0）；
（2）與圓C₁：x²+﹙y-1﹚²=1和圓C₂：x²+﹙y+1²）=4都外切．