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【題目】在平面直角坐標系中,已知橢圓的左、右頂點分別為.右焦點為,過點且斜率為的直線交橢圓于另一點.

(1)求橢圓的離心率;

(2)若,設直線,延長交直線于點,線段的中點為,求證:點關于直線的對稱點在直線

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【題目】已知函數(shù),.

1)若,當時,解關于的不等式;

2)證明:有且僅有2個零點.

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【題目】已知橢圓的短軸長為2,以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切.

1)求橢圓的標準方程;

2)斜率為的直線交橢圓,兩點,且,若直線上存在點,使得是以為頂角的等腰直角三角形,求直線的方程.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,,平面平面為等邊三角形,的中點.

1)求證:平面平面;

2)若的中點,求證:平面,并求四面體的體積.

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【題目】世界互聯(lián)網(wǎng)大會是由中國倡導并每年在浙江省嘉興市桐鄉(xiāng)烏鎮(zhèn)舉辦的世界性互聯(lián)網(wǎng)盛會,大會旨在搭建中國與世界互聯(lián)互通的國際平臺和國際互聯(lián)網(wǎng)共享共治的中國平臺,讓各國在爭議中求共識在共識中謀合作在合作中創(chuàng)共贏.20191020日至22日,第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會如期舉行,為了大會順利召開,組委會特招募了1 000名志愿者.某部門為了了解志愿者的基本情況,調查了其中100名志愿者的年齡,得到了他們年齡的中位數(shù)為34歲,年齡在歲內(nèi)的人數(shù)為15,并根據(jù)調查結果畫出如圖所示的頻率分布直方圖:

1)求,的值并估算出志愿者的平均年齡(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表);

2)這次大會志愿者主要通過現(xiàn)場報名和登錄大會官網(wǎng)報名,即現(xiàn)場和網(wǎng)絡兩種方式報名調查.100位志愿者的報名方式部分數(shù)據(jù)如下表所示,完善下面的表格,通過計算說明能

否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認為選擇哪種報名方式與性別有關系”?

男性

女性

總計

現(xiàn)場報名

50

網(wǎng)絡報名

31

總計

50

參考公式及數(shù)據(jù):,其中.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】在平面直角坐標系中,已知傾斜角為的直線經(jīng)過點.以坐標原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為

(1)寫出曲線的普通方程;

(2)若直線與曲線有兩個不同的交點,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)),的導函數(shù).

(Ⅰ)當時,求證

(Ⅱ)是否存在正整數(shù),使得對一切恒成立?若存在,求出的最大值;若不存在,說明理由.

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【題目】7屆世界軍人運動會于20191018日至27日在湖北武漢舉行,賽期10天,共設置射擊、游泳、田徑、籃球等27個大項,329個小項.共有來自100多個國家的近萬名現(xiàn)役軍人同臺競技.前期為迎接軍運會順利召開,武漢市很多單位和部門都開展了豐富多彩的宣傳和教育活動,努力讓大家更多的了解軍運會的相關知識,并倡議大家做文明公民.武漢市體育局為了解廣大民眾對軍運會知識的知曉情況,在全市開展了網(wǎng)上問卷調查,民眾參與度極高,現(xiàn)從大批參與者中隨機抽取200名幸運參與者,他們得分(滿分100分)數(shù)據(jù),統(tǒng)計結果如下:

組別

頻數(shù)

5

30

40

50

45

20

10

1)若此次問卷調查得分整體服從正態(tài)分布,用樣本來估計總體,設分別為這200人得分的平均值和標準差(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間中點值作為代表),求,的值(的值四舍五入取整數(shù)),并計算

2)在(1)的條件下,為感謝大家參與這次活動,市體育局還對參加問卷調查的幸運市民制定如下獎勵方案:得分低于的可以獲得1次抽獎機會,得分不低于的可獲得2次抽獎機會,在一次抽獎中,抽中價值為15元的紀念品A的概率為,抽中價值為30元的紀念品B的概率為.現(xiàn)有市民張先生參加了此次問卷調查并成為幸運參與者,記Y為他參加活動獲得紀念品的總價值,求Y的分布列和數(shù)學期望,并估算此次紀念品所需要的總金額.

(參考數(shù)據(jù):;.

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【題目】如圖,在四棱錐中,底面ABCD為梯形,AB//CD,AB=AD=2CD=2,△ADP為等邊三角形.

(1)PB長為多少時,平面平面ABCD?并說明理由;

(2)若二面角大小為150°,求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.

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【題目】瑞士著名數(shù)學家歐拉在研究幾何時曾定義歐拉三角形,的三個歐拉點(頂點與垂心連線的中點)構成的三角形稱為的歐拉三角形.如圖,的歐拉三角形(H的垂心).已知,,若在內(nèi)部隨機選取一點,則此點取自陰影部分的概率為________.

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