方程組表達：

轉(zhuǎn)化為矩陣表示：=

  匯總：平面上任何一點通過矩陣變換后，都自己變成自己，稱恒等變換，相應的矩陣稱恒等變換矩陣，也稱二階單位矩陣，一般記為E

  1、能否有一個變換，將(x,y)→(kx,y)?存在的話，寫出變換矩陣及幾何意義。

  2、能否有一個變換，將(x,y)→(x,ky)?

3、能否有一個變換，將(x,y)→(k₁x,k₂y)?

方程組表示

轉(zhuǎn)化為矩陣=，變換矩陣，將橫坐標、宗坐標進行了伸縮（或伸壓）變換，相應的稱伸壓矩陣

 3、伸壓變換矩陣與恒等變換矩陣有什么類似與不同點？

例1、設四邊形ABCD的四個頂點A(-1,0),B(1,0),C(1,1),D(-1,1),在矩陣變換作用下變?yōu)檎�方形，求a的值或范圍

解：變換后點A^/(-a,0),B^/(a,0),C^/(a,1),D^/(-a,1),A^/B^/=B^/C^/,2|a|=1,a=±

練習：設A是縱坐標伸長為原來的3倍，橫坐標變?yōu)閴嚎s為原來的的變換；B是縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標變?yōu)閴嚎s為原來的3變換。寫出伸壓變換A、B的矩陣

例2、⊙C：x²+y²=1在矩陣A=對應的伸壓變換下變?yōu)橐粋�橢圓，求此橢圓的方程（教材P16---例2）

思考：平面圖形對應的方程f(x,y)=0橫（縱）坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍，縱（橫）坐標不變，得到的方程是什么？

練習：曲線y=cos2x經(jīng)過伸壓變換下變?yōu)樾碌那�線y=cosx，求變換T對應的矩陣M

五、小結：恒等與伸壓變換的幾何特征與矩陣表示

六、作業(yè)：教材：P33---1，2，3，4

[補充習題]

1、若直線y=4x-4在矩陣M對應的伸壓變換下變成另一直線y=x-1,則M=_____

2、圓C：x²+y²=4在矩陣A=對應的伸壓變換下為一貫餓橢圓，則此橢圓的方程為____

3、橢圓x²+=1在矩陣對應的伸壓變換下變?yōu)橐粋�圓，則a=______

4、曲線y=sinx經(jīng)過變換T作用后變?yōu)樾碌那�線l:y=2sin()求對應的變換M

[補充習題解答]

1、；  2，；  3，±2；   4，M=

 [情況反饋]

第二課時    反射與旋轉(zhuǎn)變換

[教學目標]

[教學重點、難點]變換的理論探究

[備注]本節(jié)是兩節(jié)連上課，可以根據(jù)自身情況進行相應的調(diào)整

[教學過程]

寫出下列幾何意義中對應的坐標，并將此變換用矩陣表示，指出其變換矩陣。

點P(x,y)

(1)關于原點的對稱點

P^/(-x,-y),→==，變換矩陣

(2)關于x軸的對稱點

P^/(x,-y),→==，變換矩陣

(3)關于y軸的對稱點

P^/(-x,y),→==，變換矩陣

   說明以上變換是將平面圖形關于直線或定點對稱，稱反射變換，相應的矩陣稱反射矩陣，定直線稱反射軸，頂點稱反射中心

  思考1：關于直線y=x及y=-x的反射矩陣分別是什么？（、）

  思考2：關于這些特殊直線或原點反射矩陣有什么規(guī)律？（一個對角線上的元素為0，另一個為或-1）

  例1、求直線y=4x在變換下得到的方程，并說明二者的幾何關系

   解：設(x₀,4x₀)為直線y=4x上任意一點，經(jīng)過變換后得到點(x,y),則根據(jù)：

==，于是，消去x₀得，x=4y，幾何關系：關于直線y=x對稱

練習1：求y=在變換作用下的方程。一般的，f(x,y)=0在作用下的方程是什么？

（x=,f(y,x)=0）

練習2：若y=x²(x≥0)在反射矩陣M作用下得到y(tǒng)=x²(x≤0) ，求反射矩陣M   ()

設P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂),P為其上一點，P(x,y),設=λ,則，在二階非零矩陣作用下，點P₁、P₂、P的分別為(x₁^/,y₁^/),(x₂^/,y₂^/),(x^/,y^/)   則  

====，

P^/，于是，P₁^/、P₂^/、P共線，這說明點的共線性質(zhì)不變。

同理，可以驗證M()=λ₁M+λ₂M成立

這樣原來是一次式，結果是一次式或常數(shù)，而一次式方程對應于一條直線，以上說明：在一個二階非零矩陣作用下，直線變?nèi)匀蛔優(yōu)橹本�或點，其中把直線變?yōu)橹本�的變換稱線性變換。

例2：二階矩陣M將點(1,-1)、(-2,1)分別變?yōu)?5,7)、(-3,6)，

   (1)求矩陣M   (2)求直線L:x-y=4在此變換下所變成的直線L^/的方程

（解答(1)    (2)11x-3y-68=0）

將點P(x,y)繞原點旋轉(zhuǎn)θ角得到另一點P^/(x^/,y^/),寫出二者坐標的關系及相應的變換矩陣。

設|OP|=|OP^/|=r,射線OX到的角為α，則x=rcosα，y=rsinα

對應的變換為T:→=

   矩陣稱旋轉(zhuǎn)變換矩陣，對應的角θ稱旋轉(zhuǎn)角，變換稱旋轉(zhuǎn)變換

  1、矩陣的特點：主對角線相等，付對角線互為相反數(shù)，且列矩陣元素平方和為1

  2、幾何意義上，關于原點對稱也可以看作繞原點旋轉(zhuǎn)180⁰；對應的矩陣關于原點的反射矩陣與旋轉(zhuǎn)矩陣相同

   例3、已知A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1)求四邊形ABCD繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90⁰后得到的點的坐標，并作圖（教材P23---例4）

   練習1：例中將ABCD繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)30⁰，坐標及圖形又如何？

   練習2：設A=、B=分別表示平面的什么變換？（繞原點旋轉(zhuǎn)90⁰，關于x軸對稱）

   例4、曲線xy=1表示等軸雙曲線，

(1)將之繞原點旋轉(zhuǎn)θ角（|θ|<）能否轉(zhuǎn)化為一個焦點在x軸上的雙曲線方程,能求出旋轉(zhuǎn)角θ，旋轉(zhuǎn)矩陣及相應的變換后的方程，不能說明理由

 (2)求xy=1的焦點坐標

解(1)設旋轉(zhuǎn)矩陣為，點(x₀,)變換后的點為(x,y),則有

==

x²-y²=(x₀²-)cos2θ-2sin2θ要與x₀無關焦點在x軸上的雙曲線，必須

，2θ=2kπ+,k∈Z  θ=kπ+, k∈Z    ∵|θ|<   ∴k=-1,θ=-，于是旋轉(zhuǎn)矩陣為，相應的方程為x²-y²=2

   (2) x²-y²=2焦點坐標為(±2，0)，相應xy=1的焦點是將(±2，0)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)矩陣變換=，=焦點坐標為(,)及（-,-）

練習：求將橢圓+y²=1繞左焦點順時針旋轉(zhuǎn)90⁰得到的曲線方程（提示：將平移和旋轉(zhuǎn)綜合考慮，方程+x²=1）

解答：設點P(x,y)關于L:y=kx的對稱點為P^/(x^/,y^/),直線L的傾斜角為θ，設|OP|=|OP^/|=r,射線OX到的角為α，則x=rcosα，y=rsinα,tanθ=k

x^/=rcos(2θ-α)=rcos2θcosα+rsin2θsinα=x+y

y^/=rsin(2θ-α)=rsin2θcosα-rcos2θsinα=x-y,

變換矩陣為

   五、小結：反射變換和旋轉(zhuǎn)變換

六、作業(yè)：教材P33---5,6,8,13

[補充習題]

1、橢圓(x-2)²+=1在矩陣作用下的方程為_________

2、圓(x-3)²+(y+6)²=4在矩陣M所對應的變換下變?yōu)?x+3)²+(y-6)²=4，則矩陣M=_____,它屬于_______矩陣

3、曲線f(x,y)=0在矩陣作用下得到的曲線方程與原方程的幾何關系為____________

4、△ABC在矩陣M對應的旋轉(zhuǎn)變換作用下得到△A^/B^/C^/，已知A(0,0),B(1,),C(0,2), A^/(0,0),B^/(-1,),C(-,1),求矩陣M

5、設L為過原點的直線，射線OX到直線L的角為30⁰，求以直線L為反射軸的反射矩陣A，并求點P(-2,6)在作用下的點的坐標

[補充習題答案]

1、(x+2)²+=1

2、

3、關于x軸對稱

4、

5、A=，P^/(-1+3,-3-)

[情況反饋]

                            第三課時   投影變換

[教學目標]

[教學難點、重點]投影變換的矩陣表示

[教學過程]

一、復習變換，看書25頁----27頁內(nèi)容

1、投影變換的幾何意義是什么？（將平面圖形投射到一個點或一條直線上）

2、投影變換是否為一一映射？（不是）。在學過的平移、伸壓、恒等、反射及旋轉(zhuǎn)變換中，是否為一一映射？（是）

3、投影變換矩陣如何求出？

投影軸

變換方程組

矩陣表示

投影矩陣（方程組的系數(shù)矩陣

x軸

=

y軸

=

直線y=x

=

例1、矩陣M=，A(2,1),B(1,3),C(2,2)

(1)求在M作用下，A、B、C對應的點A^/、B^/、C^/的坐標

(2)矩陣將直線AB、AC變成什么圖形？對應變換的幾何意義是什么？

解：(1)A^/(2,0), B^/(1,0),C^/(2,0)

 (2)都變成了x軸，是向x軸上的投影變換

練習：寫出到直線y=2x的投影變換矩陣及垂直投影變換矩陣（，（x₀,y₀）垂直投影到直線y=2x上的點(x,y),則：根據(jù)=-1及y=2x解得，矩陣）

例2、求直線x+y=5在矩陣A=對應的變換下得到的圖形

解：設(x₀,5-x₀)在A作用下對應的點為(x,y), ==,所以變換后得到點(0,5)

  說明：此例驗證了在一個非零二階矩陣變換下，直線變?yōu)橹本�或點，變成點的情況例子

練習：若曲線y=sinx在矩陣M對應的投影變換作用下變成直線y=0,求M，并求在M作用下曲線f(x,y)=0變成的方程（M=,y=0）

  例3、求橢圓x²+=1在矩陣作用下對應的圖形

解：設(x₀,y₀)為已知橢圓上任意一點，在作用下變?yōu)辄c(x,y) ==

，于是x=0,y=y₀,由于(x₀,y₀)在橢圓上，故-2≤y₀≤2,所以變成了y軸上在[-2,2]間的線段

   說明：注意變形的等價性

練習：求曲線y²=x在矩陣對應的變換作用下得到的圖形（射線OX）

[補充習題]

1、設L是過原點的直線，傾斜角為60⁰，A是到直線L的垂直投影變換，求A及點P(2,-1)在A作用下象P^/的坐標

2、矩陣M=將直線L:2x+y-7=0變成L^/:x+y-3=0，求a、b

3、二階矩陣M對應的變換將點(1,-1)、(-2,1)分別變成(5,7)、(-3,6)

(1)求M  (2)求直線L:x-y=4在此變換下得到的L^/的方程

[補充習題答案]

1、A=，P^/

2、a=13/7,b=3/7

3、(1)(2)11x-3y-68=0

[情況反饋]

                     第四課時     切變變換

[教學目的]

[教學重點、難點]變換找法

[教學過程]

一、看書28---30頁

二、匯總：

1、沿水平方向的切變變換

變換T:→==，切變變換矩陣，其中系數(shù)k可以代入一個點的坐標來求，如代點B，可以求得k=,如圖一

   2、豎直方向上的切變變換

變換T:→==，切變變換矩陣，其中系數(shù)k可以代入一個點的坐標來求，如代點B，可以求得如圖二

   3、切變變換矩陣的特點：一對角線為1，另一對角線一個為0，一個為系數(shù)k

   4、切變變換下，圖形的長度、角、周長、面積是否發(fā)生變化？（面積不變，其余變）

   例1、矩形ABCD的頂點A、B、C、D在變換T下變成A^/、B^/、C^/、D^/，求T對應的變換矩陣

A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2)→(0,0),(1,1),C(1,3),(0,2)

   解：→==，變換矩陣為

  練習：變成坐標為(0,0),(1,0),(3,2),(2,2)時呢？（）

  例2、△OAB→△OA^/B^/的變換矩陣是什么，其中O為原點，A（2，1），A^/(3,2),B(1,2),B^/(3,1)

解：變換T:→==，有，k=1 ,故矩陣為

   例3、求直線x=2在矩陣下對應的方程

解：設x=2上一點(2,b),經(jīng)作用后為點(x,y),則==，于是

，消去b即得方程x+y-2=0

  練習：求橢圓在矩陣作用下變成的方程（+xy+y²=1）

[補充]

設圓F：x²+y²=1在變換(x,y)→(x^/,y^/)=(x+2y,y)切變變換下變成一個圖形F^/，求F^/的方程（x²-4xy+5y²=1）

[情況反饋]

                                   單元復習   矩陣與向量

[教學目標]

[教學難點、重點]例練

[教學過程]

1、矩陣有關概念：

（1）矩陣就是一個數(shù)表

（2）矩陣三個要素：行、列、元素。矩陣相等：行數(shù)、列數(shù)和對應元素全部相同

2、矩陣與向量的乘法：方程組，矩陣表示=即系數(shù)矩陣乘向量等于另一向量

3、幾種常見的變換

變換名稱

草圖

方程組

矩陣表示

變換矩陣

恒等變換

伸壓變換

反射變換

旋轉(zhuǎn)變換

投影變換

切變變換

這些變換都是同一思路得到的：幾何變換草圖矩陣表示→變換矩陣

其中：繞原點的旋轉(zhuǎn)變換矩陣和切變變換矩陣比較難于記憶，繞原點旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)θ角的變換矩陣為（特點：主對角線相同，副對角線互為相反熟，各列的平方和為1）；水平切變變換矩陣為，豎直切變變換矩陣為，這些可以歸結為一個歌訣：

   各種變換思一般，一圖二組矩陣換。（先作圖，再列出方程組，最后變成矩陣形式表示）

  主角相同副相反，各列平方和一旋。（旋轉(zhuǎn)變換的矩陣特征）

  副角一零一系數(shù)，主角全一是切變。（切變變換的矩陣特征）

  左乘矩陣變后點，參數(shù)方法求曲線。（求一個點的變換后的點是左乘矩陣；求曲線變換后方程可以設原來曲線上點為參數(shù)，再進行變換，但要注意參數(shù)的范圍）

   例1、集合A=,B=,_AB=,求x,y,z,α，β

解答：α=kπ+,k∈Z；β=2nπ-或2nπ+,n∈Z;x=1;y=3;z=4

  例2、已知在一個二階矩陣作用下：A(1,2)→A^/(5,11);B(3,-1)→B^/(1,5);C(x,0)→C^/(2,y),求x、y

   解答：x=2,y=6

  例3、M=,=,= 求(1)2+3的象 (2)4M-3M

 解答：(1)2+3的象為 (2)4M-3M=

  例4、直線L過點(-1,0)且與向量=共線，求在下列變換矩陣作用下，L的象L^/的方程

(1)               (2)

   提示：設點(x₀,x₀+1)的象為(x,y),用參數(shù)法   (1)x+2y+1=0   (2)x+y+1=0

  練習：求圓x²+y²=1在下列矩陣作用下的方程，并作幾何解釋

  (1)               (2)

  ((1)x²+y²=1，幾何意義：將圓x²+y²=1繞原點不變；(2)x+y=0(-1≤x≤1),幾何意義：將平面內(nèi)圓x²+y²=1上點投影到直線y=-x上)

   例4、f(x)=log₂x圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90⁰得到y(tǒng)=g(x)的圖象，求函數(shù)y=g(x)的解析式

  解答：g(x)=2^-x