（4）(2009年4月北京海淀區(qū)高三一模文)已知是直線，、是兩個不同平面，下列命題中真命題是（   C ）

（A）若，，則              （B）若，，則

（C）若，，則             （D）若，，則

４．(北京市石景山區(qū)2009年4月高三一模理)對于兩條直線和平面，若，則“”是“”的(D)

A．充分但不必要條件

B．必要但不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

(5) (北京市朝陽區(qū)2009年4月高三一模理)用一平面去截體積為的球，所得截面的面積為，則球心到截面的距離為（ C  ）

A.           B.          C.          D.     

5. (北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測試文理)已知直線a 和平面，那么的一個充分條件是（    C   ）

A. 存在一條直線b，        B. 存在一條直線b，

C. 存在一個平面       D. 存在一個平面     

5. (北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試理) 已知m、n是兩條不重合的直線，α、β、γ是三個不重合的平面，則α//β的一個充分條件是                                                         (    D  )

A.mα，mβ                 B.α⊥γ，β⊥γ

C.m⊂α,n⊂β， m∥n           D. m、n是異面直線，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α

5．(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試文)下列命題中，正確的命題是  (     B    )                           

A．過空間任一點P均存在著與平面平行的直線

B．過空間任一點P均存在著與平面垂直的直線

C．過空間任一點P均存在著與平面平行的無數(shù)多條直線

D．過空間任一點P均存在著與平面垂直的無數(shù)多條直線

5．(北京市東城區(qū)2009年3月高中示范校高三質量檢測文理)兩個平面 與相交但不垂直，直線在平面內，則在平面內       （  C   ）

A．一定存在與直線平行的直線　          B．一定不存在與直線平行的直線　       

　 C．一定存在與直線垂直的直線　          D．不一定存在與直線垂直的直線

3. (北京市豐臺區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測理)已知直線平面α ，直線平面α ，“直線c⊥，直線c⊥”是“直線c⊥平面α”的

（A）充分而不必要條件                  （B）必要而不充分條件         

  （C）充要條件                          （D）既不充分也不必要條件

（12）(2009年4月北京海淀區(qū)高三一模文)已知四面體―中，，且，，則異面直線與 所成的角為           .  

12．(北京市石景山區(qū)2009年4月高三一模理)設地球半徑為，在北緯圈上有甲、乙兩地，它們的經度差為，則甲、乙兩地間的最短緯線之長為　　　　　，甲、乙兩地的球面距離為　　　　　．

答案:,

13. (北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測試文)已知一個正方體的八個頂點都在同一個球面上. 設此正方體的表面積為，球的表面積，則=_____________.

11. (北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試理)如圖，等腰梯形ABCD中， E,F分別是BC 上三等分點，AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形ABE和DCF分別沿AE和DF折起，使得B、C兩點重合于一點P，則二面角P-AD-E的大小為                ．    

12. (北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試文)如圖，等腰梯形ABCD中， E,F分別是BC邊上的三等分點，AD=AE=1,BC=3, ,若把三角形ABE和DCF分別沿AE和DF折起，使得B、C兩點重合于一點P，則二面角P-EF-D的大小為        ． 

11. (北京市豐臺區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測理)在長方體中，，若點到這四點的距離相等，則＝         。

12. (北京市豐臺區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測文) 在長方體中，，則長方體的對角線長為      。

（16）(2009年4月北京海淀區(qū)高三一模文)（本小題共14分）如圖，四棱錐中， 平面，底面為直角梯形，且，，，.

（I）求證：；

（II）求與平面所成的角的正弦值；

（III）求點到平面的距離.

16解：方法1

（I）證明：在直角梯形中，，，

，且.         ………………………1分

取的中點，連結，

由題意可知，四邊形為正方形，所以，

又，所以，

則為等腰直角三角形，

所以，                     ………………………2分

又因為平面，且 為在平面內的射影， 平面，由三垂線定理得，                     ………………………4分

(II)由(I)可知，，，，

所以平面，………………5分

是在平面內的射影，所以是與平面所成的角，……6分

又，………………7分

，，………………8分

，即與平面所成角的正弦為        …………9分

(III)由(II)可知，平面，平面，

所以平面平面，                           ………………10分

過點在平面內作于，所以平面，

則的長即為點到平面的距離，                        ………………11分

在直角三角形中，，，       ………………12分

，                                          ……………13分

所以即點到平面的距離為         …………14分

方法2

∵平面，

∴以A為原點，AD、AB、AP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系…………1分

∵，.

∴ B (0,4,0),    D (2,0 ,0) ,  C  (2,2,0)  ,  P ( 0,0,2)                 …………2分

（I）∴                        

∵                     ………………3分 

∴,     即                        ………………4分

 (II) ∵設面APC法向量

∴ ∴               ………………6分                 

設∴                          ………………7分

∵∴                  ………8分

=   ………………9分

即與平面所成角的正弦值為      

(III)由∵設面法向量

∴ ∴            ………………11分

設∴        ………………12分

∴點到平面的距離為             ………………13分

=

∴點到平面的距離為             ………………14分

17．(北京市石景山區(qū)2009年4月高三一模理)（本題滿分14分）

    如圖，已知正三棱柱―的底面邊長是，是側棱的中點，直線與側面所成的角為．

（Ⅰ）求此正三棱柱的側棱長；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離．

17．（本題滿分分）

解法一：

   （Ⅰ）設正三棱柱―的側棱長為．取中點，連結．

       ∵ 是正三角形，∴ ．

 又底面側面，

 且兩平面交線為，

       ∴ 側面．

       連結，則為直線與側面所成的角．

       ∴ ．                                        ………………2分

       在中，，解得．

       ∴ 此正三棱柱的側棱長為．                            ………………4分

 （Ⅱ）過作于，連結．

       ∵ 側面，∴ 是在平面內的射影．

              由三垂線定理，可知．

  ∴ 為二面角的平面角．                  ………………6分

       在中，，又，

       ，   ∴ ．

       又，

       ∴ 在中，．                   ………………8分

       故二面角的大小為．                    ………………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，平面，

       ∴ 平面平面，且交線為，

       過作于，則平面．

       ∴ 的長為點到平面的距離．                    ………………10分

       在中，．     …………12分

       ∵ 為中點，∴ 點到平面的距離為．  …………14分

解法二：

       （Ⅰ）同解法一．

       （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系．

       則．

       設為平面的法向量．

       由，

       得．

       取．                                         …………6分

       又平面的一個法向量．                         …………7分

       ∴ ． …………8分

       結合圖形可知，二面角的大小為．         …………9分

（Ⅲ）由（Ⅱ），，．            …………10分

       ∴ 點到平面的距離

          ．

    ∴ 點到平面的距離為．                           …………14分

(17) (北京市朝陽區(qū)2009年4月高三一模) （本小題滿分14分）

如圖，在直三棱柱中, 已知， ，，是的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求二面角的大�。�

(理)（Ⅲ）求直線與平面所成角的正弦值.

(17) 解法一：

（Ⅰ）證明：因為，

是的中點，所以.

由已知，三棱柱是直三棱柱，

所以平面平面.

所以平面.

又因為平面,

所以.        ………………5分

（Ⅱ）解：由（1）知平面.

過作，垂足為,連結.

由三垂線定理可知，

所以是二面角的平面角.

由已知可求得，,   所以.

所以二面角的大小為.

由于二面角與二面角的大小互補，

所以二面角的大小為.              ………………10分

(理)（Ⅲ）過D作,垂足為,連結.

由（Ⅱ）可證得平面,所以,可證得平面.

所以, 為直線與平面所成的角.

在直角三角形中，可知，所以.

在直角三角形中，可知=.

在直角三角形中，=.

所以直線與平面所成角的正弦值為.     ………………14分

解法二：

以的中點為原點，先證明平面，建立空間直角坐標系（如圖）.由已知可得

、、、、、.

（Ⅰ）證明：，.

因為，

所以.             ………………5分

（Ⅱ）解：.

設平面的一個法向量為，

由  得  

解得  所以.

又知，平面，所以為平面的法向量.

因為 ,所以

由圖可知，二面角大于90º，

所以二面角的大小為.            ………………10分

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知平面的一個法向量,

     又.

所以 .

因為直線與平面所成角為,

所以直線與平面所成角的正弦值為.               ………………14分

17. (北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測試理)（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又

.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；

（Ⅲ）求點B到平面PAD的距離.

17.（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                      ---------------------------1分

       ，

       平面.                              ---------------------------4分

（Ⅱ）方法一：

 解：由（Ⅰ）知，

又，

平面，                               ---------------------------5分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內的射影，

，

又

為二面角B-PD-C的平面角.                ---------------------------7分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

.      ---------------8分

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                ---------------------------9分

  方法二：

       解：如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

       則,            ---------------------------5分

過C作于M，連接BM，設，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                ---------------------------7分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                  --------------------------9分

（Ⅲ）解：設點B到平面PAD的距離為h，               

       ，，

       平面ABCD，，

       ，

       在直角梯形ABCD中，，

       .

       在中，，，

        ，

        ，

           的面積，          ---------------------------10分

       三棱錐B-PAD的體積，

，                     ---------------------------12分

即，解得，

       點B到平面PAD的距離為.                  ---------------------------14分  

17. (北京市西城區(qū)2009年4月高三一模抽樣測試文)（本小題滿分14分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形， 又

.

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求PA與平面ABCD所成角的大��；

(Ⅲ) 求二面角B-PD-C的大小.

17.（本小題滿分14分）

方法一：（Ⅰ）證明：在中，，

       ，

       ，即，                             ---------------------------1分

       ，

       平面.                                      ---------------------------4分

（Ⅱ）如圖，連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內的射影，

     為PA與平面ABCD所成的角.    --------------6分

     在中，，，

     ，

    在中，，，

    ，

    PA與平面ABCD所成角的大小為.                ---------------------------8分

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，

又，

平面.                                       ---------------------------9分

如圖，過C作于M，連接BM，

是BM在平面PCD內的射影，

，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------11分

在中, , PC=1, ，

，

又，，

，

在中, , BC=1, ,

,

二面角B-PD-C的大小為.                       --------------------------14分

  方法二：（Ⅰ）同方法一.                                        ---------------------------4分

   （Ⅱ）解：連接AC，由（Ⅰ）知平面，

     AC為PA在平面ABCD內的射影，

       為PA與平面ABCD所成的角.                     ---------------------------6分

       如圖，在平面ABCD內，以C為原點， CD、CB、CP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標系C-xyz，

         則, ，                   

                                                                 ---------------------------7分

       ，

       PA與平面ABCD所成角的大小為.               ---------------------------9分

 （Ⅲ）過C作于M，連接BM，設，

       則，

，

；           1       

共線，

，               2

由12，解得，

點的坐標為，，，

,

，

又，

為二面角B-PD-C的平面角.                       ---------------------------12分

         ，，

         ， 

 二面角B-PD-C的大小為.                        --------------------------14分

16．(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試理)（本小題滿分14分）

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB//CD,AB=AD=1,D1D=CD=2,AB⊥AD．

（I)求證：BC⊥面D1DB；

（II)求D1B與平面D1DCC1所成角的大小；

（III)在BB1上是否存在一點F，使F到平面D1BC的距離為，若存在，則指出該點的位置；若不存在，請說明理由．

16．（本小題滿分14分）

解法一：

（I)證明：∵ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，

 ∴ D1D⊥平面ABCD，

 ∴BC⊥D1D．

 ∵AB//CD, AB⊥AD．

∴四邊形ABCD為直角梯形，

又∵AB=AD=1,CD=2，

可知BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                 -----------------------4分

（II)取DC中點E，連結BE,D1E.

∵DB=BC，

∴BE⊥CD.

∵ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，

∴ABCD⊥D1DCC1．

∴BE⊥D1DCC1．

∴D1E為D1B在平面D1DCC1上的射影，

∴∠BD1E為所求角．

在中， ．

．

∴所求角為．                 ---------------------------------9分

（Ⅲ）假設B1B存在點F,設BF= x,

∵,BC⊥平面D1BF，

∴.

∵,

∴.

又，

∴．

即存在點F為B1B的中點．                                ---------------14分

解法二：

（I)證明：如圖建立坐標系D-xyz,

．

∴．

∵，

∴BC⊥DD1, BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                     ------------------4分

（II) ．

∵AD⊥平面D1DCC1，

∴平面D1DCC1的法向量，

∵．

∴D1B與平面D1DCC1所成角的大小為.         --------------------9分

（III) 假設B1B存在點F,設BF = a，則F(1,1,a),

設平面D1BC的法向量為，

由．令x=1,則y = z =1.

∴，又，

∴.

∵F到平面D1BC的距離為,

．

即存在點F為B1B的中點．      -------------------------------------------14分

16．(北京市崇文區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一考試文)（本小題滿分14分）

已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD,AB=AD=1, DD1=CD=2,AB⊥AD．

（I)求證：BC⊥面D1DB；

（II)求D1B與平面D1DCC1所成角的大�。�

16．（本小題滿分14分）

解法一：

（I)證明：∵ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，

 ∴ D1D⊥平面ABCD，

 ∴BC⊥D1D．

 ∵AB//CD, AB⊥AD．

∴四邊形 ABCD為直角梯形，

又∵AB=AD=1,CD=2，

可知BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                 -----------------------6分

（II)取DC中點E，連結BE,D1E.

∵DB=BC，

∴BE⊥CD.

∵ABCD-A1B1C1D1為直四棱柱，

∴ABCD⊥D1DCC1．

∴BE⊥D1DCC1．

∴D1E為D1B在平面D1DCC1上的射影，

∴∠BD1E為所求角．

在中， ．

．

∴所求角為．                 ---------------------------------14分

解法二：

（I)證明：如圖建立坐標系D-xyz,

．

∴．

∵，

∴BC⊥DD1, BC⊥DB．

∵D1D∩ DB=D，

∴BC⊥平面D1DB．                                       ------------------6分

（II) ．

∵AD⊥平面D1DCC1，

∴平面D1DCC1的法向量，

∵．

∴D1B與平面D1DCC1所成角的大小為.          --------------------14分

17．(北京市東城區(qū)2009年3月高中示范校高三質量檢測文理)（本小題14分）

如圖，直三棱柱中，，，D為棱 的中點．

（I）證明：；

（II）求異面直線與所成角的大��；

（III）求平面所成二面角的大�。▋H考慮

     銳角情況）．

17．（本小題14分）

（I）證：都為等腰直角三角形

，即……………………………………………  （2分）

又

…………………………………………………………   （4分）

（II）解：連交于E點，取AD中點F，連EF、CF，則

是異面直線與所成的角（或補角）…………………    （5分）

，，

在中，…………………   （8分）

則異面直線與所成角的大小為……………………    （9分）

（III）解：延長與AB延長線交于G點，連接CG

過A作,連，

，（三垂線定理）

則的平面角，即所求二面角的平面角…     （10分）

在直角三角形ACG中，

………………………………（11分）

在直角三角形中，……………………       （13分）

，

即所求的二面角的大小為………………………………………     （14分）

得 分

評卷人

17. (北京市豐臺區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測理)（本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。

（Ⅰ）求所成角的正弦值；        

（Ⅱ）證明；

(Ⅲ) 求二面角的大小.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，   

，又是正△ABC邊的中點，

，         

∠為所成角

又     sin∠=                          …………5分

（Ⅱ）證明:  依題意得   ，，

 因為    由（Ⅰ）知， 而，

所以              所以                     …………9分

(Ⅲ) 過C作于，作于，連接

  ，   …………11分  

又      是所求二面角的平面角

，      

二面角的大小為                                …………14分

17. (北京市豐臺區(qū)2009年3月高三統(tǒng)一檢測文)（本小題共14分）

如圖，在正三棱柱中，,是的中點，點在上，。

（Ⅰ）求所成角的大�。�         

（Ⅱ）求二面角的正切值；

(Ⅲ) 證明.

解：（Ⅰ）在正三棱柱中，  

又  是正△ABC邊的中點，

                               …………3分

∠為所成角

又     sin∠=                      …………5分

所以所成角為（）

（Ⅱ） 由已知得 

∠為二面角的平面角，     所以     …………9分

(Ⅲ)證明:  依題意  得   ，，

因為                        …………11分

又由（Ⅰ）中    知，且，

                                      …………14分