題目列表(包括答案和解析)
(17)(本大題滿分12分)已知
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值。
解:(Ⅰ)由,得,所以=。
(Ⅱ)∵,∴。
(18)(本大題滿分12分)在添加劑的搭配使用中,為了找到最佳的搭配方案,需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時,需要選用兩種不同的添加劑,F(xiàn)有芳香度分別為0,1,2,3,4,5的六種添加劑可供選用。根據(jù)試驗設(shè)計原理,通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。
(Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率;
(Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率;
解:設(shè)“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A,“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B
(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種:、,故。
(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種:;芳香度之和等于2的取法有1種:,故。
(19)(本大題滿分12分)如圖,P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點,,P在平面ABC內(nèi)的射影為BF的中點O。
(Ⅰ)證明⊥;
(Ⅱ)求面與面所成二面角的大小。
解:(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中,為等腰三角形,
∵P在平面ABC內(nèi)的射影為O,∴PO⊥平面ABF,∴AO為PA在平面ABF內(nèi)的射影;∵O為BF中點,∴AO⊥BF,∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF,∴平面PBF⊥平面ABC;而O為BF中點,ABCDEF是正六邊形 ,∴A、O、D共線,且直線AD⊥BF,則AD⊥平面PBF;又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1,∴,,。
過O在平面POB內(nèi)作OH⊥PB于H,連AH、DH,則AH⊥PB,DH⊥PB,所以為所求二面角平面角。
在中,OH=,=。
在中,;
而
(Ⅱ)以O(shè)為坐標原點,建立空間直角坐標系,P(0,0,1),A(0,,0),B(,0,0),D(0,2,0),∴,,
設(shè)平面PAB的法向量為,則,,得,;
設(shè)平面PDB的法向量為,則,,得,;
(20)(本大題滿分12分)設(shè)函數(shù),已知是奇函數(shù)。
(Ⅰ)求、的值。
(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間與極值。
證明(Ⅰ)∵,∴。從而=是一個奇函數(shù),所以得,由奇函數(shù)定義得;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,從而,由此可知,
和是函數(shù)是單調(diào)遞增區(qū)間;
是函數(shù)是單調(diào)遞減區(qū)間;
在時,取得極大值,極大值為,在時,取得極小值,極小值為。
(21)(本大題滿分12分)在等差數(shù)列中,,前項和滿足條件,
(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;
(Ⅱ)記,求數(shù)列的前項和。
解:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得:,所以,即,又=,所以。
(Ⅱ)由,得。所以,
當時,;
當時,
,
即。
(22)(本大題滿分14分)如圖,F(xiàn)為雙曲線C:的右焦點。P為雙曲線C右支上一點,且位于軸上方,M為左準線上一點,為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形,。
(Ⅰ)寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式;
(Ⅱ)當時,經(jīng)過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點,若,求此時的雙曲線方程。
解:∵四邊形是,∴,作雙曲線的右準線交PM于H,則,又,。
(Ⅱ)當時,,,,雙曲線為,設(shè)P,則,,所以直線OP的斜率為,則直線AB的方程為,代入到雙曲線方程得:,
又,由得:,解得,則,所以為所求。
(13)設(shè)常數(shù),展開式中的系數(shù)為,則=_____。
解:,由。
(14)在中,,M為BC的中點,則_______。(用表示)
解:,,所以。
(15)函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若則__________。
解:由得,所以,則。
(16)平行四邊形的一個頂點A在平面內(nèi),其余頂點在的同側(cè),已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2 ,那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是:
①1; ②2; ③3; ④4;
以上結(jié)論正確的為______________。(寫出所有正確結(jié)論的編號)
解:如圖,B、D到平面的距離為1、2,則D、B的中點到平面的距離為,所以C到平面的距離為3;
B、C到平面的距離為1、2,D到平面的距離為,則,即,所以D到平面的距離為1;
C、D到平面的距離為1、2,同理可得B到平面的距離為1;所以選①③。
(1)設(shè)全集,集合,,則等于( )
A. B. C. D.
解:,則=,故選B
(2)不等式的解集是( )
A. B. C. D.
解:由得:,即,故選D。
(3)函數(shù)的反函數(shù)是( )
A. B.
C. D.
解:由得:,所以為所求,故選D。
(4)“”是“的( )
A.必要不充分條件 B.充分不必要條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解:條件集是結(jié)論集的子集,所以選B。
(5)若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則的值為( )
A. B. C. D.
解:橢圓的右焦點為(2,0),所以拋物線的焦點為(2,0),則,故選D。
(6)表面積為 的正八面體的各個頂點都在同一個球面上,則此球的體積為
A. B. C. D.
解:此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形,所以由知,,則此球的直徑為,故選A。
(7)直線與圓沒有公共點,則的取值范圍是
A. B. C. D.
解:由圓的圓心到直線大于,且,選A。
(8)對于函數(shù),下列結(jié)論正確的是( )
A.有最大值而無最小值 B.有最小值而無最大值
C.有最大值且有最小值 D.既無最大值又無最小值
解:令,則函數(shù)的值域為函數(shù)的值域,而是一個減函減,故選B。
(9)將函數(shù)的圖象按向量平移,平移后的圖象如圖所示,則平移后的圖象所對應(yīng)函數(shù)的解析式是( )
A. B.
C. D.
解:將函數(shù)的圖象按向量平移,平移后的圖象所對應(yīng)的解析式為,由圖象知,,所以,因此選C。
(10)如果實數(shù)滿足條件 ,那么的最大值為( )
A. B. C. D.
解:當直線過點(0,-1)時,最大,故選B。
(11)如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值,則( )
A.和都是銳角三角形 B.和都是鈍角三角形
C.是鈍角三角形,是銳角三角形
D.是銳角三角形,是鈍角三角形
解:的三個內(nèi)角的余弦值均大于0,則是銳角三角形,若是銳角三角形,由,得,那么,,所以是鈍角三角形。故選D。
(12)在正方體上任選3個頂點連成三角形,則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為( )
A. B. C. D.
解:在正方體上任選3個頂點連成三角形可得個三角形,要得直角非等腰三角形,則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過此點的一條面對角線),共有24個,得,所以選C。
2006年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(安徽卷)理科數(shù)學
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答,在試題卷上書寫作答無效。
15.設(shè)F是橢圓的右焦點,且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1,2,3,…),使|FP1|,|FP2|,|FP3|,…組成公差為d的等差數(shù)列,則d的取值范圍為 .
14.若的展開式中的常數(shù)項為84,則n= .
13.同時拋物線兩枚相同的均勻硬幣,隨機變量ξ=1表示結(jié)果中有正面向上,ξ=0表示結(jié)果中沒有正面向上,則Eξ= .
12.已知向量a=,向量b=,則|2a-b|的最大值是 .
11.設(shè)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當時,
且則不等式的解集是________________________.
10.從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形,其中直角三角形的個數(shù)為( )
A.56 B.52 C.48 D.40
9.設(shè)集合,那么點P(2,3)()的充要條件是 ( )
A. B.
C. D.
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