題目列表(包括答案和解析)
當問題處在運動狀態(tài)但結果是定值時,可取其特殊的靜止狀態(tài)進行檢驗,以避免非智力因素引起的心理性錯誤。
例8. 在正方體中,M、N分別為棱的中點,P為棱上的任意一點,則直線AM與PN所成的角等于________
錯解:亂填一個角。
檢驗:設點P與點重合,則容易證明,即AM與PN所成角等于。由題意知所求角是個定值,故正確答案為。
當端點處是否成立難以確定時,可直接取其端點進行檢驗,以避免考慮不周全的錯誤。
例7. 已知關于的不等式的解集是空集,求實數(shù)的取值范圍__________。
錯解:由,解得。
檢驗:若,則原不等式為,解集是空集,滿足題意;若,則原不等式為,就是,解得,不滿足題意。故正確答案為
一種方法解答之后,再用其它方法解之,看它們的結果是否一致,從而可避免單一的方法造成的策略性錯誤。
例6. 若,則的最小值是_________。
錯解:,
檢驗:上述錯解在于兩次使用重要不等式,等號不可能同時取到。換一種解法為:
,
的最小值為16。
當問題具有幾何背景時,可通過作圖進行檢驗,以避免一些脫離事實而主觀意想的錯誤。
例5. 函數(shù)的遞增區(qū)間是___________
錯解:()
檢驗:
作圖可知正確答案為與。
當解題過程中是否等價變形難以把握時,可用估算的方法進行檢驗,以避免忽視充要條件而產生邏輯性錯誤。
例4. 不等式的解是 __________
錯解:兩邊平方得,
即,
解得
檢驗:先求定義域得。若,則,原不等式成立;若時,,原不等式不成立。故正確答案為。
若答案是有限的、具體的數(shù)據(jù)時,可逐一代入進行檢驗,以避免因擴大自變量的允許值范圍而產生增解致錯。
例3. 方程的解是__________。
錯解:設,則,根據(jù)復數(shù)相等的定義得
解得或
或
檢驗:若,則原方程成立;若,則原方程不成立。故原方程有且只有一解。
若答案是無限的、一般性結論時,可賦予一個或幾個特殊值進行檢驗,以避免知識性錯誤。
例2. 已知數(shù)列{}的前項和為,則通項公式=_________。
錯解:
檢驗 取時,由條件得,但由結論得。故正確答案為
填空題解答之后再回顧,即再審題,這是最起碼的一個環(huán)節(jié),可以避免審題上帶來的某些明顯的錯誤。
例1. 滿足條件且的角的集合 ________。
錯解:
或
檢驗 根據(jù)題意,答案中的不滿足條件,應改為;其次角的取值要用集合表示。故正確答案為{}。
22.(本小題滿分14分)
定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足:
①對任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();
②當x∈(-1,0)時,有f(x)>0.
(1)判定f(x)在(-1,1)上的奇偶性,并說明理由;
(2)判定f(x)在(-1,0)上的單調性,并給出證明;
(3)求證:f()=f()-f()(n∈N).
21.(本小題滿分12分)
如圖,A、B是兩個定點,且|AB|=2,動點M到A點的距離是4,線段MB的垂直平分線l交MA于點P,直線k垂直于直線AB,且B點到直線k的距離為3.
(1)求證:點P到點B的距離與點P到直線k的距離之比為定值;
(2)若P點到A,B兩點的距離之積為m,當m取最大值時,求P點的坐標;
(3)若|PA|-|PB|=1,求cosAPB的值.
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